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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

遅延グリーン関数を用いた運動方程式の解の変形


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\phi_0(x)&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}(a_{\bf{p}}e^{-i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}+a_{\bf{p}}^\dagger e^{i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}).
\end{eqnarray}
}


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\phi(x)&=&\phi_0(x)+i\int d^4y D_R(x-y)j(y)\\
&=&\phi_0(x)+i\int d^4y\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\bf{p}}}\theta(x^0-y^0)\times(e^{-ip\cdot(x-y)}-e^{ip\cdot(x-y)})j(y).
\end{eqnarray}
}
(2.63)

「上式において、場 jの全てが過去にいくまで十分に待ったとき、階段関数 \theta(x^0-y^0)は1になるため、 \theta(x^0-y^0)=1を代入します。また、 jフーリエ変換の式」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\tilde{j}(p)&=&\int d^4y e^{ip\cdot y}j(y),
\end{eqnarray}
}

「を用いて、(2.63)式を変形してみます」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\phi(x)&=&\phi_0(x)+i\int d^4y D_R(x-y)j(y)\\
&=&\phi_0(x)+i\int d^4y\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\bf{p}}}\theta(x^0-y^0)\times(e^{-ip\cdot(x-y)}-e^{ip\cdot(x-y)})j(y)\\
&=&\phi_0(x)+i\int d^4y\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\bf{p}}}(e^{-ip\cdot(x-y)}-e^{ip\cdot(x-y)})j(y)\\
&=&\phi_0(x)+i\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\bf{p}}}\int d^4y(e^{ipy}j(y)e^{-ipx}-e^{-ipy}j(y)e^{ipx})\\
&=&\phi_0(x)+i\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\bf{p}}}\big\{\tilde{j}(p)e^{-ipx}-\tilde{j}^*(p)e^{ipx}\big\}
\end{eqnarray}
}

「ここで、 \tilde{j}^* (p)は、 \tilde{j}(p)のエルミート共役(Hermitian conjugate)をとったものです」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\tilde{j}^*(p)&=&\int d^4y e^{-ip\cdot y}j(y),
\end{eqnarray}
}

「なお、エルミート共役は、Hermitian conjugateの頭文字をとって、h.c.と略すこともあります」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\phi(x)&=&\phi_0(x)+i\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\bf{p}}}\big\{\tilde{j}(p)e^{-ipx}-\textrm{h.c.}\big\}
\end{eqnarray}
}

「ここで、(2.63)式において、正の周波数項を消滅演算子 a_p、負の周波数項を生成演算子 a_p^\daggerとそれぞれ一緒にまとめるのが自然です」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\phi(x)&=&\phi_0(x)+i\int d^4y D_R(x-y)j(y)\\
&=&\phi_0(x)+i\int d^4y\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\bf{p}}}\theta(x^0-y^0)\times(e^{-ip\cdot(x-y)}-e^{ip\cdot(x-y)})j(y)\\
&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}(a_{\bf{p}}e^{-i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}+a_{\bf{p}}^\dagger e^{i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}})\\
&+&i\int d^4y\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\bf{p}}}\theta(x^0-y^0)\times(e^{-ip\cdot(x-y)}-e^{ip\cdot(x-y)})j(y)\\
&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}\bigg\{(a_{\bf{p}}e^{-i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}+a_{\bf{p}}^\dagger e^{i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}})+\frac{i}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}\int d^4y(e^{-ip\cdot(x-y)}-e^{ip\cdot(x-y)})j(y)\bigg\}\\
&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}\bigg\{\bigg(a_{\bf{p}}+\frac{i}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}\int d^4y e^{ip\cdot y}j(y)\bigg)e^{-i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}\\
&+&\bigg(a_{\bf{p}}^\dagger -\frac{i}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}\int d^4y e^{-ip\cdot y})j(y)\bigg)e^{i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}\bigg\}\\
&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}\bigg\{\bigg(a_{\bf{p}}+\frac{i}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}\tilde{j}(p)\bigg)e^{-i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}+\bigg(a_{\bf{p}}^\dagger -\frac{i}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}\tilde{j}^* (p)\bigg)e^{i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}\bigg\}\\
&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}\bigg\{\bigg(a_{\bf{p}}+\frac{i}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}\tilde{j}(p)\bigg)e^{-i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}+\textrm{h.c.}\bigg\}.
\end{eqnarray}
}

「以上をまとめると、結局 \phi(x)は次のようになります」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\phi(x)&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}\bigg\{\bigg(a_{\bf{p}}+\frac{i}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}\tilde{j}(p)\bigg)e^{-i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}+\textrm{h.c.}\bigg\}.
\end{eqnarray}
}
(2.64)