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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

ソースフィールドが作用した後のハミルトニアン


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\phi(x)&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}\bigg\{\bigg(a_{\bf{p}}+\frac{i}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}\tilde{j}(p)\bigg)e^{-i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}+\textrm{h.c.}\bigg\}.
\end{eqnarray}
}
(2.64)

「ここで、 j(x)が作用した後のハミルトニアンの形式を推測(または計算)することができます。ハミルトニアンは生成・消滅演算子で、次の(2.31)式のように表せることは以前お話しました」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\mathcal{H}&=&\int d^3 x\int\frac{d^3p d^3p'}{(2\pi)^6}e^{i{({\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}\bigg\{-\frac{\sqrt{\omega_{\bf{p}}\omega_{\bf{p}'}}}{4}
\big(a_{\bf{p}}-a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)\big(a_{\bf{p}'}-a_{-\bf{p}'}^{\dagger}\big)\\
&+&\frac{-{\bf{p}}\cdot{\bf{p}}'+m^2}{4\sqrt{\omega_{\bf{p}}\omega_{\bf{p}'}}}
\big(a_{\bf{p}}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)\big(a_{\bf{p}'}+a_{-\bf{p}'}^{\dagger}\big)\bigg\}\\
&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\omega_{\bf{p}}\bigg(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{p}}+\frac{1}{2}[a_{\bf{p}}, a_{\bf{p}}^\dagger]\bigg).
\end{eqnarray}
}
(2.31)

「ここで、自然単位系では \hbar=1から  \hbar\omega_{\bf{p}}=\omega_{\bf{p}}=E_{\bf{p}}であり、また、第2項の零点エネルギー\frac{1}{2}[a_{\bf{p}}, a_{\bf{p}}^\dagger]を無視すると、上のハミルトニアンの式は次のように簡単になります」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\mathcal{H}&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}E_{\bf{p}}a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{p}}.
\end{eqnarray}
}

「上式において、(2.64)式の形から推測してa_{\bf{p}} (a_{\bf{p}}+i\tilde{j}(p)/\sqrt{2E_{\bf{p}}})に置き換えると、 j(x)が作用した後のハミルトニアンが得られます」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\mathcal{H}&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}E_{\bf{p}}\bigg(a^\dagger_{\bf{p}}-\frac{i}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}\tilde{j}^*(p)\bigg) \bigg(a_{\bf{p}}+\frac{i}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}\tilde{j}(p)\bigg).
\end{eqnarray}
}