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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

古典的な電磁気のラグラジアン密度

問題2.1

「次に、テキストの演習問題を解いてみましょう。(源のない)古典的電磁気学は、以下の作用から導かれます」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
S=\int d^4x\bigg(-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\bigg),\,\,\,\,\,\, \textrm{ここで}\,\,\, F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu.
\end{eqnarray}
}

「問題aとして、この作用のオイラーラグランジュ方程式としてマクスウェル方程式を導いてみましょう。ここで、ラグランジアン密度 \mathcal{L}の作用積分Sは、次のように書くことができることは以前お話しました」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
S&=&\int \mathcal{L} dt=\int \mathcal{L}(\phi, \partial_\mu\phi)d^4x 
\end{eqnarray}
}
(2.1)

「それゆえ、上の作用Sのラグランジアン密度 \mathcal{L}は、次のように書くことができます」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\mathcal{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}
\end{eqnarray}
}

「このラグランジアン密度 \mathcal{L}を場の運動を表すオイラーラグランジュ方程式に代入することで、運動方程式を導くことができます」

オイラーラグランジュ方程式(場の方程式)
{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
 \partial_\mu\bigg(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\bigg)-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}&=&0
\end{eqnarray}
}
(2.3)