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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

オイラー・ラグランジュ方程式からマクスウェル方程式の導出1


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\mathcal{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu},\,\,\,\,\,\, \textrm{where}\,\,\, F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu.
\end{eqnarray}
}

「上のラグランジアン密度 \mathcal{L}を場の運動を表すオイラーラグランジュ方程式に代入することで、運動方程式を導くことができます」

オイラーラグランジュ方程式(場の方程式)
{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
 \partial_\mu\bigg(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\bigg)-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}&=&0
\end{eqnarray}
}
(2.3)

「ただし、ここでは場 \phiの代わりに、要素 A_\mu(x)を力学変数として扱います」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
 \partial_\mu\bigg(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu A_\nu)}\bigg)-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial A_\nu}&=&0
\end{eqnarray}
}

「ここで、オイラーラグランジュ方程式の添字 \mu, \nuは、ラグランジアン密度 \mathcal{L}の添字 \mu, \nuとは異なることに注意してください。そこで、これを明確にするため、オイラーラグランジュ方程式の添字を \alpha, \betaと書くことにします」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
 \partial_\mu\bigg(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}\bigg)-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial A_\beta}&=&0
\end{eqnarray}
}

「ところで、上式の左辺第2項はゼロになることがわかります。なぜなら、ラグランジアン密度 \mathcal{L}は、変数 Aを単独で含むのではなく、 F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\muのように微分 \partialの形で含むためです。したがって、左辺第1項のみ計算すればよいことがわかります」