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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

テンソルの添字を上げ下げする方法

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
 \partial_\mu\bigg(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}\bigg)-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial A_\beta}&=&0
\end{eqnarray}
}

「次に、上式の左辺第1項を計算してみましょう」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\mathcal{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu},\,\,\,\,\,\, \textrm{ここで}\,\,\, F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu.
\end{eqnarray}
}

「上のラグランジアン密度 \mathcal{L}を上式の左辺第1項の大括弧()内に代入してみます」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
 \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}&=&-\frac{1}{4}\frac{\partial\mathcal{(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu})}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}\\
&=&-\frac{1}{4}\bigg(\mathcal{F}_{\mu\nu}\frac{\partial\mathcal{F^{\mu\nu}}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}+\mathcal{F}^{\mu\nu}\frac{\partial\mathcal{F_{\mu\nu}}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}\bigg)
\end{eqnarray}
}

「上の計算において、1行目から2行目の変形に積の微分法則\partial(uv)=u\partial(v)+v\partial(u)を用いました。また、上式第2行目の第1項目の被微分関数 F^{\mu\nu}が上付きの添字となっていることから、この微分計算ができるように、添字を下付きに変えたいと思います。ここで、添字の上げ下げには、計量テンソル gを使います。例えば、上付きの添字を下付きに変えたい場合、次のような下付きの添字が2つ付いた計量テンソルをかけます」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
g_{ij}A^j=A_i
\end{eqnarray}
}

「これは、計量テンソルの下付きの添字jAの上付きの添字jと打ち消しあって、下付きの添字iだけが残ったとイメージすると覚えやすいと思います」

覚え方:上下に同じ添字が現れたとき、これらの添字が打ち消しあって消える

「逆に、下付きの添字を上付きに変えたい場合は、次のような上付きの添字が2つ付いた計量テンソルをかけます」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
g^{ij}B_i=B^j
\end{eqnarray}
}

「この場合も、計量テンソルの上付きの添字iBの下付きの添字iと打ち消しあって、上付きの添字jだけが残ったとイメージできます。また、高次のテンソルの場合も同様に、計量テンソルを使って添字の上下を変えることがえきます」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
g_{ij}C^{jk}=C_i^k
\end{eqnarray}
}

「上の場合、計量テンソルの下付きの添字jCの上付きの添字jと打ち消しあって、下付きの添字iと上付きの添字kだけが残ったとイメージできます」