スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

オイラー・ラグランジュ方程式からマクスウェル方程式の導出３


{ \displaystyle \begin{eqnarray} \mathcal{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu},\,\,\,\,\,\, \textrm{ここで、}\,\,\, F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu. \end{eqnarray} }

{ \displaystyle \begin{eqnarray} \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}&=&-\frac{1}{4}\frac{\partial\mathcal{(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu})}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}\\ &=&-\frac{1}{4}\bigg(\mathcal{F}_{\mu\nu}\frac{\partial\mathcal{F^{\mu\nu}}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}+\mathcal{F}^{\mu\nu}\frac{\partial\mathcal{F_{\mu\nu}}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}\bigg)\\ &=&-\frac{1}{2}\bigg(\mathcal{F}^{\mu\nu}\frac{\partial\mathcal{F_{\mu\nu}}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}\bigg) \end{eqnarray} }

「次に、上式の括弧内の微分を計算してみましょう」

{ \displaystyle \begin{eqnarray} \frac{\partial\mathcal{F_{\mu\nu}}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}&=&\frac{\partial(\partial_\mu A_\nu)}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}-\frac{\partial(\partial_\nu A_\mu)}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}\\ &=&\delta_{\mu\alpha}\delta_{\nu\beta}-\delta_{\nu\alpha}\delta_{\mu\beta} \end{eqnarray} }

「ここで、\delta_{xy}はクロネッカーのデルタであり、x=yのとき1、 x\neq yのとき0となる関数です。つまり、上式は、微分の分母と分子の添字が全て一致している場合にのみ、値が残るということになります」

クロネッカーのデルタ：\delta_{xy}（x=yのとき1、 x\neq yのとき0）

「したがって、オイラー・ラグランジュ方程式の左辺第１項は次のようになります」

{ \displaystyle \begin{eqnarray} \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}&=&-\frac{1}{4}\frac{\partial\mathcal{(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu})}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}\\ &=&-\frac{1}{2}\bigg(\mathcal{F}^{\mu\nu}\frac{\partial\mathcal{F_{\mu\nu}}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}\bigg)\\ &=&-\frac{1}{2}\mathcal{F}^{\mu\nu}\big(\delta_{\mu\alpha}\delta_{\nu\beta}-\delta_{\nu\alpha}\delta_{\mu\beta}\big)\\ &=&-\frac{1}{2}\big(\mathcal{F}^{\alpha\beta}-\mathcal{F}^{\beta\alpha}\big) \end{eqnarray} }