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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

クライン‐ゴルドン粒子のエネルギー・運動量テンソル

問題2.1b

「次に、問題2.1bを解いてみます。問題2.1bは、クライン‐ゴルドン理論のためのエネルギー・運動量テンソルを構築しろとのことです。そこで、以前導いたエネルギー・運動量テンソルの式を見てみましょう」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
 T^\mu_{\,\,\,\nu}&\equiv&\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\partial_\nu\phi-\mathcal{L}\delta^\mu_\nu.
\end{eqnarray}
}
(2.17)

「ここで、オイラーラグランジュ方程式を解いたときと同様に、場 \phiの代わりに要素 A_\lambda(x)を力学変数として扱うことにします」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
 T^\mu_{\,\,\,\nu}&\equiv&\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu A_\lambda)}\partial_\nu A_\lambda-\mathcal{L}\delta^\mu_\nu.
\end{eqnarray}
}

「また、上式右辺第1項目の微分は、以前導いた結果を利用します」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\mathcal{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu},\,\,\,\,\,\, \textrm{ここで}\,\,\, F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu.
\end{eqnarray}
}

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
 \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu A_\lambda)}
&=&-\mathcal{F}^{\mu\lambda}=\mathcal{F}^{\lambda\mu}
\end{eqnarray}
}

「これを代入すると、エネルギー・運動量テンソルは次のようになります」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
 T^\mu_{\,\,\,\nu}&=&\mathcal{F}^{\lambda\mu}\partial_\nu A_\lambda-\mathcal{L}\delta^\mu_\nu.
\end{eqnarray}
}