読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

エネルギー・運動量テンソルを対称的にする方法2

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
 T^{\mu\nu}&=&\mathcal{F}^{\lambda\mu}\partial^\nu A_\lambda-\mathcal{L}\delta^{\mu\nu}.
\end{eqnarray}
}

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\hat{T}^{\mu\nu}=T^{\mu\nu}+\partial_\lambda K^{\lambda\mu\nu}
\end{eqnarray}
}

「次に、上のようにエネルギー・運動量テンソルT^{\mu\nu}\partial_\lambda K^{\lambda\mu\nu}を加えて定義しなおした\hat{T}^{\mu\nu}は、 K^{\lambda\mu\nu}=F^{\mu\lambda}A^{\nu}としたとき、対称的なエネルギー・運動量テンソルTを生じ、電磁気のエネルギーおよび運動量密度の標準形式を生じることを示したいと思います」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\hat{T}^{\mu\nu}&=&T^{\mu\nu}+\partial_\lambda K^{\lambda\mu\nu}\\
&=&T^{\mu\nu}+\partial_\lambda (F^{\mu\lambda}A^{\nu})\\
&=&\mathcal{F}^{\lambda\mu}\partial^\nu A_\lambda-\mathcal{L}\delta^{\mu\nu}+\partial_\lambda (F^{\mu\lambda}A^{\nu})
\end{eqnarray}
}

「ここで、第2項\mathcal{L}\delta^{\mu\nu}は添字\mu, \nuに対して明らかに対称的なので、残りの項の対称性について考えてみます。まず、積の微分法則\partial(uv)=u\partial(v)+v\partial(u)を用いて、第3項を展開してみます」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\partial_\lambda (F^{\mu\lambda}A^{\nu})=\partial_\lambda (F^{\mu\lambda})A^{\nu}+F^{\mu\lambda}\partial_\lambda (A^{\nu})
\end{eqnarray}
}

「上式の右辺第1項の \partial_\lambda (F^{\mu\lambda})は、前回の問題2.1で導いた式\partial_\alpha\mathcal{F}^{\alpha\beta}=0^\beta-\mathcal{F}^{\alpha\beta}=\mathcal{F}^{\beta\alpha}の関係からゼロになることがわかります」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\partial_\alpha\mathcal{F}^{\alpha\beta}&=&0^\beta\rightarrow-\partial_\alpha\mathcal{F}^{\beta\alpha}&=&0^\beta\rightarrow \partial_\lambda (F^{\mu\lambda})=0^\beta(\alpha\rightarrow\lambda, \beta\rightarrow\mu)
\end{eqnarray}
}

「したがって、 \hat{T}^{\mu\nu}の式は、次のようになります」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\hat{T}^{\mu\nu}&=&\mathcal{F}^{\lambda\mu}\partial^\nu A_\lambda+F^{\mu\lambda}\partial_\lambda A^{\nu}-\mathcal{L}\delta^{\mu\nu}\\
&=&\mathcal{F}^{\lambda\mu}\partial^\nu A_\lambda-F^{\lambda\mu}\partial_\lambda A^{\nu}-\mathcal{L}\delta^{\mu\nu}\\
&=&\mathcal{F}^{\lambda\mu}(\partial^\nu A_\lambda-\partial_\lambda A^{\nu})-\mathcal{L}\delta^{\mu\nu}\\
&=&\mathcal{F}^{\lambda\mu}F^\nu_{\,\,\lambda}-\mathcal{L}\delta^{\mu\nu}
\end{eqnarray}
}

「最後の行への変形において、F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\muの定義の \muの添字を上げた式F^\mu_{\,\,\nu}=\partial^\mu A_\nu-\partial_\nu A^\muを用いました」