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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

エネルギー・運動量テンソルを対称的にする方法3

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\hat{T}^{\mu\nu}
&=&\mathcal{F}^{\lambda\mu}F^\nu_{\,\,\lambda}-\mathcal{L}\delta^{\mu\nu}
\end{eqnarray}
}

「上のエネルギー・運動量テンソルの式において、添字\mu, \nuを入れ替えた式が対称的となっているか調べてみましょう」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\hat{T}^{\nu\mu}&=&\mathcal{F}^{\lambda\nu}F^\mu_{\,\,\lambda}-\mathcal{L}\delta^{\nu\mu}\\
&=&(-\mathcal{F}^{\nu\lambda})(-F^{\,\,\mu}_\lambda)-\mathcal{L}\delta^{\mu\nu}\\
&=&\mathcal{F}^{\nu\lambda}F^{\,\,\mu}_\lambda-\mathcal{L}\delta^{\mu\nu}\\
&=&F^{\,\,\mu}_\lambda\mathcal{F}^{\nu\lambda}-\mathcal{L}\delta^{\mu\nu}
\end{eqnarray}
}

「ここで、-\mathcal{F}^{\alpha\beta}=\mathcal{F}^{\beta\alpha}および \delta^{\nu\mu}=\delta^{\mu\nu}の関係を用いました。次に、各項の添字\lambdaを上げ下げします。それには、各項に計量テンソル g_{\lambda\lambda}, g^{\lambda\lambda}をかけます」
「ちょっと、勝手に計量テンソルをかけてもいいの?」
 一宮が胡散臭そうな目で越野さんを見た。
「その点なら問題ありません。計量テンソル g^{ik}g_{jk}逆行列の関係にあり、次の関係が成り立ちます」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
g^{ik}g_{jk}=\delta^i_j
\end{eqnarray}
}

「ここで、\delta^i_jクロネッカーのデルタで、 i=jのとき1、 i\neq jのとき0となる関数です。このとき、i=j=k=\lambdaとすれば、次の関係式を導くことができます」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
g^{\lambda\lambda}g_{\lambda\lambda}=\delta^\lambda_\lambda=1
\end{eqnarray}
}

「したがって、式に 1=g^{\lambda\lambda}g_{\lambda\lambda}を自由にかけることができます。そこで、エネルギー・運動量テンソルの式の各項に計量テンソル g_{\lambda\lambda}, g^{\lambda\lambda}をかけて、各項の添字\lambdaを上げ下げすると、次のようになります」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\hat{T}^{\nu\mu}&=&F^{\,\,\mu}_\lambda\mathcal{F}^{\nu\lambda}-\mathcal{L}\delta^{\mu\nu}\\
&=&F^{\,\,\mu}_\lambda\mathcal{F}^{\nu\lambda}\times 1-\mathcal{L}\delta^{\mu\nu}\\
&=&F^{\,\,\mu}_\lambda\mathcal{F}^{\nu\lambda}\times g^{\lambda\lambda}g_{\lambda\lambda}-\mathcal{L}\delta^{\mu\nu}\\
&=&(F^{\,\,\mu}_\lambda g^{\lambda\lambda})(\mathcal{F}^{\nu\lambda}g_{\lambda\lambda})-\mathcal{L}\delta^{\mu\nu}\\
&=&F^{\lambda\mu}\mathcal{F}^\nu_{\,\,\lambda}-\mathcal{L}\delta^{\mu\nu}
\end{eqnarray}
}

「これは添字\mu,\nuを入れ替える前の \hat{T}^{\mu\nu}の式と同じ形をしています。したがって、エネルギー・運動量テンソル \hat{T}^{\mu\nu}が対称的であることがわかりました」