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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

エネルギー・運動量テンソルの式から電磁気エネルギーの式の導出

「最後に、エネルギー・運動量テンソルの式から電磁気エネルギーの標準式を導いてみます」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\hat{T}^{\mu\nu}
&=&\mathcal{F}^{\lambda\mu}F^\nu_{\,\,\lambda}-\mathcal{L}\delta^{\mu\nu}
\end{eqnarray}
}

「ここで、エネルギー・運動量テンソルのうち、時間変換に関係した保存チャージ T^{00}は、ハミルトニアン \mathcal{H}、すなわちエネルギーとなることを思い出してください」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
H=\int T^{00}d^3x=\int \mathcal{H}d^3 x.
\end{eqnarray}
}
(2.18)

「そこで、 \mu=\nu=0として、エネルギー・運動量テンソルを計算してみます」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\hat{T}^{00}
&=&\mathcal{F}^{\lambda0}F^0_{\,\,\lambda}-\mathcal{L}\delta^{00}\\
&=&\mathcal{F}^{i0}F^0_{\,\,i}-\mathcal{L}\\
&=&-\mathcal{F}^{0i}F^0_{\,\,i}-\mathcal{L}\\
\end{eqnarray}
}

「ここで、 \delta^{00}=1および-\mathcal{F}^{\alpha\beta}=\mathcal{F}^{\beta\alpha}の関係を用いました。さらに、 E^i=-F^{0i}(または、 E_i=F^{0}_{\,\, i})の関係を用いると、次のようになります」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\hat{T}^{00}
&=&-\mathcal{F}^{0i}F^0_{\,\,i}-\mathcal{L}\\
&=&E^i E_i-\mathcal{L}\\
&=&{E}^2-\mathcal{L}
\end{eqnarray}
}

「最後の式変形において、4元ベクトルの内積の定義 A\cdot B=A^\mu B_\muを用いました。この内積の定義を用いると、 A^2は次のように書くことができます」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
A^2=A\cdot A=A^\mu A_\mu
\end{eqnarray}
}