スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

エネルギー・運動量テンソルの式から電磁気エネルギーの式の導出2

{ \displaystyle \begin{eqnarray} \hat{T}^{00} &=&-\mathcal{F}^{0i}F^0_{\,\,i}-\mathcal{L}\\ &=&E^i E_i-\mathcal{L}\\ &=&{E}^2-\mathcal{L} \end{eqnarray} }

「ところで、ラグランジアン密度\mathcal{L}は、次のように表せたことを思い出してください」


{ \displaystyle \begin{eqnarray} \mathcal{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu},\,\,\,\,\,\, \textrm{ここで}\,\,\, F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu. \end{eqnarray} }

「そこで、F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}の添字 \muを \mu=0および \mu=i(i\neq 0)に展開してみます」


{ \displaystyle \begin{eqnarray} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}&=&F_{0\nu}F^{0\nu}+F_{i\nu}F^{i\nu} \end{eqnarray} }

「次に、添字 \nuを \nu=0および \nu=j(j\neq 0)に展開します」


{ \displaystyle \begin{eqnarray} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}&=&F_{0\nu}F^{0\nu}+F_{i\nu}F^{i\nu}\\ &=&(F_{00}F^{00}+F_{0j}F^{0j})+(F_{i0}F^{i0}+F_{ij}F^{ij})\\ &=&(F_{0j}F^{0j}+F_{i0}F^{i0})+F_{ij}F^{ij}\\ \end{eqnarray} }

「上式２行目から３行目への変形において、F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\muからF_{00}=\partial_0 A_0-\partial_0 A_0=0の関係を用いました。また、-\mathcal{F}^{\alpha\beta}=\mathcal{F}^{\beta\alpha}の関係を用いた後に、 E^i=-F^{0i}（または、 E_i=F_{0i}）および \epsilon^{ijk}B^k=F^{ji}（または、 \epsilon_{ijk}B_k=F_{ji}）の関係を代入すると、上の式は次のようになります」


{ \displaystyle \begin{eqnarray} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} &=&(F_{0j}F^{0j}+F_{i0}F^{i0})+F_{ij}F^{ij}\\ &=&(F_{0j}F^{0j}+F_{0i}F^{0i})+F_{ji}F^{ji}\\ &=&-2E_iE^i+(\epsilon_{ijk}B_k)(\epsilon^{ijl}B^l)\\ &=&-2E^2+(\epsilon_{ijk}\epsilon^{ijl})B_kB^l\\ \end{eqnarray} }