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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

エネルギー・運動量テンソルの式から電磁気エネルギーの式の導出2

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\hat{T}^{00}
&=&-\mathcal{F}^{0i}F^0_{\,\,i}-\mathcal{L}\\
&=&E^i E_i-\mathcal{L}\\
&=&{E}^2-\mathcal{L}
\end{eqnarray}
}

「ところで、ラグランジアン密度\mathcal{L}は、次のように表せたことを思い出してください」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\mathcal{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu},\,\,\,\,\,\, \textrm{ここで}\,\,\, F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu.
\end{eqnarray}
}

「そこで、F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}の添字 \mu \mu=0および \mu=i(i\neq 0)に展開してみます」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}&=&F_{0\nu}F^{0\nu}+F_{i\nu}F^{i\nu}
\end{eqnarray}
}

「次に、添字 \nu \nu=0および \nu=j(j\neq 0)に展開します」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}&=&F_{0\nu}F^{0\nu}+F_{i\nu}F^{i\nu}\\
&=&(F_{00}F^{00}+F_{0j}F^{0j})+(F_{i0}F^{i0}+F_{ij}F^{ij})\\
&=&(F_{0j}F^{0j}+F_{i0}F^{i0})+F_{ij}F^{ij}\\
\end{eqnarray}
}

「上式2行目から3行目への変形において、F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\muからF_{00}=\partial_0 A_0-\partial_0 A_0=0の関係を用いました。また、-\mathcal{F}^{\alpha\beta}=\mathcal{F}^{\beta\alpha}の関係を用いた後に、 E^i=-F^{0i}(または、 E_i=F_{0i})および \epsilon^{ijk}B^k=F^{ji}(または、 \epsilon_{ijk}B_k=F_{ji})の関係を代入すると、上の式は次のようになります」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}
&=&(F_{0j}F^{0j}+F_{i0}F^{i0})+F_{ij}F^{ij}\\
&=&(F_{0j}F^{0j}+F_{0i}F^{0i})+F_{ji}F^{ji}\\
&=&-2E_iE^i+(\epsilon_{ijk}B_k)(\epsilon^{ijl}B^l)\\
&=&-2E^2+(\epsilon_{ijk}\epsilon^{ijl})B_kB^l\\
\end{eqnarray}
}