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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

複素スカラー場の共役運動量密度と正準交換関係

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\mathcal{L}&=&\partial_\mu\phi^*\partial^\mu\phi-m^2\phi^*\phi.
\end{eqnarray}
}

「次に、上のラグランジアン \mathcal{L}から場\phi({\bf{x}})の共役運動量密度 \pi({\bf{x}})を導いてみましょう。一般に、共役運動量密度は次のように書くことができます」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\pi({\bf{x}})=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\phi}({\bf{x}})}
\end{eqnarray}
}

「また、上のラグランジアン \mathcal{L}を、\mu=0 \mu=i(i\neq 0)に分けて考えると、次のようになります」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\mathcal{L}&=&\partial_\mu\phi^*\partial^\mu\phi-m^2\phi^*\phi\\
&=&\partial_0\phi^*\partial^0\phi+\partial_i\phi^*\partial^i\phi -m^2\phi^*\phi\\
&=&\dot{\phi}^*\dot{\phi}-\nabla\phi^*\nabla\phi -m^2\phi^*\phi\\
\end{eqnarray}
}

「それゆえ、上のラグランジアン \mathcal{L}の第1項を \dot{\phi}微分した値が、場\phi({\bf{x}})の共役運動量 \pi({\bf{x}})になることがわかります」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\pi({\bf{x}})&=&\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\phi}({\bf{x}})}\\
&=&\dot{\phi}^*
\end{eqnarray}
}

「同様に、\phi^*(x)の共役運動量\pi^*({\bf{x}})を導くこともできます」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\pi^*({\bf{x}})&=&\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\phi}^*({\bf{x}})}\\
&=&\dot{\phi}
\end{eqnarray}
}

「また、 \phi, \piおよび \phi^*, \pi^*の正準交換関係は、(2.20)式から次のようになります」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
[\phi({\bf{x}}), \pi({\bf{y}})]&=&i\delta^{(3)}({\bf{x}}-{\bf{y}});\\
[\phi({\bf{x}}), \phi({\bf{y}})]&=&[\pi({\bf{x}}), \pi({\bf{y}})]=0.
\end{eqnarray}
}
(2.20)

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
[\phi({\bf{x}}), \pi({\bf{y}})]&=&[\phi^*({\bf{x}}), \pi^*({\bf{y}})]=i\delta^{(3)}({\bf{x}}-{\bf{y}}),\\
[\phi({\bf{x}}), \phi({\bf{y}})]&=&[\pi({\bf{x}}), \pi({\bf{y}})]=0,\\
[\phi^*({\bf{x}}), \phi^*({\bf{y}})]&=&[\pi({\bf{x}}), \pi^*({\bf{y}})]=0,\\
[\pi({\bf{x}}), \phi^*({\bf{y}})]&=&[\pi^*({\bf{x}}), \phi({\bf{y}})]=0.
\end{eqnarray}
}