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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

複素スカラー場のハミルトニアン

「次に、ハミルトニアンは、下の(2.5)式を用いて導くことができます」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
H&=&\int d^3x[p({\bf{x}})\dot{\phi} ({\bf{x}})-\mathcal{L}]\equiv\int d^3x\mathcal{H}.
\end{eqnarray}
}

(2.5)

「具体的には、(2.5)式の運動量p({\bf{x}})に相当するのが共役運動量密度 \pi, \pi^*であるため、これを代入します」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
H&=&\int d^3x(\pi\dot{\phi}+\pi^*\dot{\phi}^*-\mathcal{L})
\end{eqnarray}
}

「上の式に、前回導いたラグランジアン \mathcal{L}を代入します」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\mathcal{L}&=&\dot{\phi}^*\dot{\phi}-\nabla\phi^*\nabla\phi -m^2\phi^*\phi\\
\end{eqnarray}
}


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
H&=&\int d^3x(\pi\dot{\phi}+\pi^*\dot{\phi}^*-\mathcal{L})\\
&=&\int d^3x(\pi\dot{\phi}+\pi^*\dot{\phi}^*-\dot{\phi}^*\dot{\phi}+\nabla\phi^*\nabla\phi +m^2\phi^*\phi)
\end{eqnarray}
}

「ここで、 \dot{\phi}=\pi^*, \dot{\phi}^*=\piの関係に注意すると、上式は次のようになります」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
H&=&\int d^3x(\pi\dot{\phi}+\pi^*\dot{\phi}^*-\dot{\phi}^*\dot{\phi}+\nabla\phi^*\nabla\phi +m^2\phi^*\phi)\\
&=&\int d^3x(\pi\pi^*+\pi^*\pi -\pi\pi^*+\nabla\phi^*\nabla\phi +m^2\phi^*\phi)\\
&=&\int d^3x(\pi^*\pi+\nabla\phi^*\nabla\phi +m^2\phi^*\phi)
\end{eqnarray}
}

「これが複素スカラー場のハミルトニアンとなります。以上が、問題2.2aの解答です」