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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

複素スカラー場の共役運動量密度

「次は、問題2.2bです」

問題2.2b:
生成・消滅演算子を導入することによって、ハミルトニアン\mathcal{H}を対角化せよ。また、この理論が質量mの2組の粒子を含むことを示せ。

「以前、クライン-ゴルドン \varphi({\bf{x}})フーリエ展開して、生成演算子 a^\daggerと消滅演算子 aで表しました」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\phi({\bf{x}})&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\bf{p}}}}\big(a_{\bf{p}}e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}+a_{\bf{p}}^{\dagger}e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}\big);
\end{eqnarray}
}
(2.25)

「複素スカラー \varphi({\bf{x}}), \varphi^*({\bf{x}})の場合も、同様にフーリエ展開により、生成・消滅演算子で表すことができます」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\phi({\bf{x}})&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\bf{p}}}}\big(a_{\bf{p}}e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}+b_{\bf{p}}^{\dagger}e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}\big),\\
\phi^*({\bf{x}})&=&\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\bf{q}}}}\big(a_{\bf{q}}^\dagger e^{i{\bf{q}\cdot\bf{x}}}+a_{\bf{q}}e^{-i{\bf{q}\cdot\bf{x}}}\big)
\end{eqnarray}
}

「ただし、複素スカラー場の場合、 \varphi({\bf{x}}), \varphi^*({\bf{x}})の2種類の場があるため、生成・消滅演算子 a^\dagger, aだけでは十分に表現することができません。そこで、もう1組の生成・消滅演算子 b^\dagger, bが必要となります。ここで、 \pi=\dot{\phi}^*=\partial_0\phi^*, \pi^*=\dot{\phi}=\partial_0\phiの関係を用いると、複素スカラー \varphi({\bf{x}}), \varphi^*({\bf{x}})から、共役運動量密度 \pi, \pi^*の式を導くことができます」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\phi({\bf{x}})&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\bf{p}}}}\big(a_{\bf{p}}e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}+b_{\bf{p}}^{\dagger}e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}\big),\\
\phi^*({\bf{x}})&=&\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\bf{q}}}}\big(a_{\bf{q}}^\dagger e^{i{\bf{q}\cdot\bf{x}}}+b_{\bf{q}}e^{-i{\bf{q}\cdot\bf{x}}}\big)
\end{eqnarray}
}


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\pi=\partial_0\phi^*({\bf{x}})&=&\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\bf{q}}}}i{\bf{q}_0}\big(a_{\bf{q}}^\dagger e^{i{\bf{q}\cdot\bf{x}}}-b_{\bf{q}}e^{-i{\bf{q}\cdot\bf{x}}}\big)\\
&=&i\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\sqrt{\frac{\omega_{\bf{q}}}{2}}\big(a_{\bf{q}}^\dagger e^{i{\bf{q}\cdot\bf{x}}}-b_{\bf{q}}e^{-i{\bf{q}\cdot\bf{x}}}\big)\\
\pi^*=\partial_0\phi({\bf{x}})&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\bf{p}}}}i{\bf{q}_0}\big(a_{\bf{p}}e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}+b_{\bf{p}}^{\dagger}e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}\big)\\
&=&i\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\sqrt{\frac{\omega_{\bf{q}}}{2}}\big(a_{\bf{p}}e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}-b_{\bf{p}}^{\dagger}e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}\big)\\
\end{eqnarray}
}