複素スカラー場の共役運動量密度 - スーパーサイエンスガール

「次は、問題2.2bです」

問題2.2b：
生成・消滅演算子を導入することによって、ハミルトニアン $\mathcal{H}$ を対角化せよ。また、この理論が質量 $ｍ$ の２組の粒子を含むことを示せ。

「以前、クライン-ゴルドン場 $\varphi({\bf{x}})$ をフーリエ展開して、生成演算子 $a^\dagger$ と消滅演算子 $a$ で表しました」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \phi({\bf{x}})&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\bf{p}}}}\big(a_{\bf{p}}e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}+a_{\bf{p}}^{\dagger}e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}\big); \end{eqnarray} }$
(2.25)

「複素スカラー場 $\varphi({\bf{x}}), \varphi^*({\bf{x}})$ の場合も、同様にフーリエ展開により、生成・消滅演算子で表すことができます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \phi({\bf{x}})&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\bf{p}}}}\big(a_{\bf{p}}e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}+b_{\bf{p}}^{\dagger}e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}\big),\\ \phi^*({\bf{x}})&=&\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\bf{q}}}}\big(a_{\bf{q}}^\dagger e^{i{\bf{q}\cdot\bf{x}}}+a_{\bf{q}}e^{-i{\bf{q}\cdot\bf{x}}}\big) \end{eqnarray} }$

「ただし、複素スカラー場の場合、 $\varphi({\bf{x}}), \varphi^*({\bf{x}})$ の２種類の場があるため、生成・消滅演算子 $a^\dagger, a$ だけでは十分に表現することができません。そこで、もう１組の生成・消滅演算子 $b^\dagger, b$ が必要となります。ここで、 $\pi=\dot{\phi}^*=\partial_0\phi^*, \pi^*=\dot{\phi}=\partial_0\phi$ の関係を用いると、複素スカラー場 $\varphi({\bf{x}}), \varphi^*({\bf{x}})$ から、共役運動量密度 $\pi, \pi^*$ の式を導くことができます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \phi({\bf{x}})&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\bf{p}}}}\big(a_{\bf{p}}e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}+b_{\bf{p}}^{\dagger}e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}\big),\\ \phi^*({\bf{x}})&=&\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\bf{q}}}}\big(a_{\bf{q}}^\dagger e^{i{\bf{q}\cdot\bf{x}}}+b_{\bf{q}}e^{-i{\bf{q}\cdot\bf{x}}}\big) \end{eqnarray} }$

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \pi=\partial_0\phi^*({\bf{x}})&=&\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\bf{q}}}}i{\bf{q}_0}\big(a_{\bf{q}}^\dagger e^{i{\bf{q}\cdot\bf{x}}}-b_{\bf{q}}e^{-i{\bf{q}\cdot\bf{x}}}\big)\\ &=&i\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\sqrt{\frac{\omega_{\bf{q}}}{2}}\big(a_{\bf{q}}^\dagger e^{i{\bf{q}\cdot\bf{x}}}-b_{\bf{q}}e^{-i{\bf{q}\cdot\bf{x}}}\big)\\ \pi^*=\partial_0\phi({\bf{x}})&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\bf{p}}}}i{\bf{q}_0}\big(a_{\bf{p}}e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}+b_{\bf{p}}^{\dagger}e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}\big)\\ &=&i\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\sqrt{\frac{\omega_{\bf{q}}}{2}}\big(a_{\bf{p}}e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}-b_{\bf{p}}^{\dagger}e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}\big)\\ \end{eqnarray} }$