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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

複素スカラー場の正準交換関係の計算1


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\phi({\bf{x}})&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\bf{p}}}}\big(a_{\bf{p}}e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}+b_{\bf{p}}^{\dagger}e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}\big),\\
\phi^*({\bf{x}})&=&\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\bf{q}}}}\big(a_{\bf{q}}^\dagger e^{i{\bf{q}\cdot\bf{x}}}+b_{\bf{q}}e^{-i{\bf{q}\cdot\bf{x}}}\big)
\end{eqnarray}
}


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\pi({\bf{x}})&=&i\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\sqrt{\frac{\omega_{\bf{q}}}{2}}\big(a_{\bf{q}}^\dagger e^{i{\bf{q}\cdot\bf{x}}}-b_{\bf{q}}e^{-i{\bf{q}\cdot\bf{x}}}\big)\\
\pi^*({\bf{x}})&=&i\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\sqrt{\frac{\omega_{\bf{q}}}{2}}\big(a_{\bf{p}}e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}-b_{\bf{p}}^{\dagger}e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}\big)\\
\end{eqnarray}
}

「ここで、 \phi, \piの正準交換関係 [\phi({\bf{x}}), \pi({\bf{y}})]に上式を代入し、 \omega_{\bf{p}}=E_{\bf{p}}の関係を用いると、次のようになります」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
&&[\phi({\bf{x}}), \pi({\bf{y}})]
=\int\frac{d^3pd^3q}{(2\pi)^6}\frac{i}{2}\sqrt{\frac{E_{\bf{q}}}{E_{\bf{p}}}}\\
&\times&[(a_{\bf{p}}e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}+b_{\bf{p}}^{\dagger}e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}})(a_{\bf{q}}^\dagger e^{i{\bf{q}\cdot\bf{y}}}-b_{\bf{q}}e^{-i{\bf{q}\cdot\bf{y}}})-(a_{\bf{q}}^\dagger e^{i{\bf{q}\cdot\bf{y}}}-b_{\bf{q}}e^{-i{\bf{q}\cdot\bf{y}}})(a_{\bf{p}}e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}+b_{\bf{p}}^{\dagger}e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}})]\\
\end{eqnarray}
}

「次に、上式の括弧[ ]内を計算していきます」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
&&[\phi({\bf{x}}), \pi({\bf{y}})]
=\int\frac{d^3pd^3q}{(2\pi)^6}\frac{i}{2}\sqrt{\frac{E_{\bf{q}}}{E_{\bf{p}}}}\\
&\times&[(a_{\bf{p}}e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}+b_{\bf{p}}^{\dagger}e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}})(a_{\bf{q}}^\dagger e^{i{\bf{q}\cdot\bf{y}}}-b_{\bf{q}}e^{-i{\bf{q}\cdot\bf{y}}})-(a_{\bf{q}}^\dagger e^{i{\bf{q}\cdot\bf{y}}}-b_{\bf{q}}e^{-i{\bf{q}\cdot\bf{y}}})(a_{\bf{p}}e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}+b_{\bf{p}}^{\dagger}e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}})]\\
%%%
&=&\int\frac{d^3{\bf{p}}d^3{\bf{q}}}{(2\pi)^6}\frac{i}{2}\sqrt{\frac{E_{\bf{q}}}{E_{\bf{p}}}}\\
&\times&[a_{\bf{p}}a_{\bf{q}}^\dagger e^{-i({\bf{p}\cdot\bf{x}}-{\bf{q}\cdot\bf{y}})}-a_{\bf{p}}b_{\bf{q}}e^{-i({\bf{p}\cdot\bf{x}}+{\bf{q}\cdot\bf{y}})}+
b_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}}^\dagger e^{i({\bf{p}\cdot\bf{x}}+{\bf{q}\cdot\bf{y}})}-
b_{\bf{p}}^\dagger b_{\bf{q}}e^{i({\bf{p}\cdot\bf{x}}-{\bf{q}\cdot\bf{y}})}\\
&-&\big(
a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}}e^{-i({\bf{p}\cdot\bf{x}}-{\bf{q}\cdot\bf{y}})}+
a_{\bf{q}}^\dagger b_{\bf{q}}^\dagger e^{i({\bf{p}\cdot\bf{x}}+{\bf{q}\cdot\bf{y}})}-
b_{\bf{q}}a_{\bf{p}}e^{-i({\bf{p}\cdot\bf{x}}+{\bf{q}\cdot\bf{y}})}-
b_{\bf{q}}b_{\bf{p}}^\dagger e^{i({\bf{p}\cdot\bf{x}}-{\bf{q}\cdot\bf{y}})}
\big)]\\
%%%
&=&\int\frac{d^3{\bf{p}}d^3{\bf{q}}}{(2\pi)^6}\frac{i}{2}\sqrt{\frac{E_{\bf{q}}}{E_{\bf{p}}}}\\
&\times&\big\{[a_{\bf{p}}, a_{\bf{q}}^\dagger ]e^{-i({\bf{p}\cdot\bf{x}}-{\bf{q}\cdot\bf{y}})}-[a_{\bf{p}},b_{\bf{q}}]e^{-i({\bf{p}\cdot\bf{x}}+{\bf{q}\cdot\bf{y}})}+
[b_{\bf{p}}^\dagger, a_{\bf{q}}^\dagger ]e^{i({\bf{p}\cdot\bf{x}}+{\bf{q}\cdot\bf{y}})}-
[b_{\bf{p}}^\dagger, b_{\bf{q}}]e^{i({\bf{p}\cdot\bf{x}}-{\bf{q}\cdot\bf{y}})}\big\}\\
\,\,\,
%%%
\end{eqnarray}
}