複素スカラー場の正準交換関係の計算1 - スーパーサイエンスガール

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \phi({\bf{x}})&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\bf{p}}}}\big(a_{\bf{p}}e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}+b_{\bf{p}}^{\dagger}e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}\big),\\ \phi^*({\bf{x}})&=&\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\bf{q}}}}\big(a_{\bf{q}}^\dagger e^{i{\bf{q}\cdot\bf{x}}}+b_{\bf{q}}e^{-i{\bf{q}\cdot\bf{x}}}\big) \end{eqnarray} }$

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \pi({\bf{x}})&=&i\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\sqrt{\frac{\omega_{\bf{q}}}{2}}\big(a_{\bf{q}}^\dagger e^{i{\bf{q}\cdot\bf{x}}}-b_{\bf{q}}e^{-i{\bf{q}\cdot\bf{x}}}\big)\\ \pi^*({\bf{x}})&=&i\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\sqrt{\frac{\omega_{\bf{q}}}{2}}\big(a_{\bf{p}}e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}-b_{\bf{p}}^{\dagger}e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}\big)\\ \end{eqnarray} }$

「ここで、 $\phi, \pi$ の正準交換関係 $[\phi({\bf{x}}), \pi({\bf{y}})]$ に上式を代入し、 $\omega_{\bf{p}}=E_{\bf{p}}$ の関係を用いると、次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} &&[\phi({\bf{x}}), \pi({\bf{y}})] =\int\frac{d^3pd^3q}{(2\pi)^6}\frac{i}{2}\sqrt{\frac{E_{\bf{q}}}{E_{\bf{p}}}}\\ &\times&[(a_{\bf{p}}e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}+b_{\bf{p}}^{\dagger}e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}})(a_{\bf{q}}^\dagger e^{i{\bf{q}\cdot\bf{y}}}-b_{\bf{q}}e^{-i{\bf{q}\cdot\bf{y}}})-(a_{\bf{q}}^\dagger e^{i{\bf{q}\cdot\bf{y}}}-b_{\bf{q}}e^{-i{\bf{q}\cdot\bf{y}}})(a_{\bf{p}}e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}+b_{\bf{p}}^{\dagger}e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}})]\\ \end{eqnarray} }$

「次に、上式の括弧[ ]内を計算していきます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} &&[\phi({\bf{x}}), \pi({\bf{y}})] =\int\frac{d^3pd^3q}{(2\pi)^6}\frac{i}{2}\sqrt{\frac{E_{\bf{q}}}{E_{\bf{p}}}}\\ &\times&[(a_{\bf{p}}e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}+b_{\bf{p}}^{\dagger}e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}})(a_{\bf{q}}^\dagger e^{i{\bf{q}\cdot\bf{y}}}-b_{\bf{q}}e^{-i{\bf{q}\cdot\bf{y}}})-(a_{\bf{q}}^\dagger e^{i{\bf{q}\cdot\bf{y}}}-b_{\bf{q}}e^{-i{\bf{q}\cdot\bf{y}}})(a_{\bf{p}}e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}+b_{\bf{p}}^{\dagger}e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}})]\\ %%% &=&\int\frac{d^3{\bf{p}}d^3{\bf{q}}}{(2\pi)^6}\frac{i}{2}\sqrt{\frac{E_{\bf{q}}}{E_{\bf{p}}}}\\ &\times&[a_{\bf{p}}a_{\bf{q}}^\dagger e^{-i({\bf{p}\cdot\bf{x}}-{\bf{q}\cdot\bf{y}})}-a_{\bf{p}}b_{\bf{q}}e^{-i({\bf{p}\cdot\bf{x}}+{\bf{q}\cdot\bf{y}})}+ b_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}}^\dagger e^{i({\bf{p}\cdot\bf{x}}+{\bf{q}\cdot\bf{y}})}- b_{\bf{p}}^\dagger b_{\bf{q}}e^{i({\bf{p}\cdot\bf{x}}-{\bf{q}\cdot\bf{y}})}\\ &-&\big( a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}}e^{-i({\bf{p}\cdot\bf{x}}-{\bf{q}\cdot\bf{y}})}+ a_{\bf{q}}^\dagger b_{\bf{q}}^\dagger e^{i({\bf{p}\cdot\bf{x}}+{\bf{q}\cdot\bf{y}})}- b_{\bf{q}}a_{\bf{p}}e^{-i({\bf{p}\cdot\bf{x}}+{\bf{q}\cdot\bf{y}})}- b_{\bf{q}}b_{\bf{p}}^\dagger e^{i({\bf{p}\cdot\bf{x}}-{\bf{q}\cdot\bf{y}})} \big)]\\ %%% &=&\int\frac{d^3{\bf{p}}d^3{\bf{q}}}{(2\pi)^6}\frac{i}{2}\sqrt{\frac{E_{\bf{q}}}{E_{\bf{p}}}}\\ &\times&\big\{[a_{\bf{p}}, a_{\bf{q}}^\dagger ]e^{-i({\bf{p}\cdot\bf{x}}-{\bf{q}\cdot\bf{y}})}-[a_{\bf{p}},b_{\bf{q}}]e^{-i({\bf{p}\cdot\bf{x}}+{\bf{q}\cdot\bf{y}})}+ [b_{\bf{p}}^\dagger, a_{\bf{q}}^\dagger ]e^{i({\bf{p}\cdot\bf{x}}+{\bf{q}\cdot\bf{y}})}- [b_{\bf{p}}^\dagger, b_{\bf{q}}]e^{i({\bf{p}\cdot\bf{x}}-{\bf{q}\cdot\bf{y}})}\big\}\\ \,\,\, %%% \end{eqnarray} }$