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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

複素スカラー場の正準交換関係の計算2

「次に、被積分関数の括弧[ ]の中の計算をしてみましょう」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
[\phi({\bf{x}}), \pi({\bf{y}})]
&=&\int\frac{d^3{\bf{p}}d^3{\bf{q}}}{(2\pi)^6}\frac{i}{2}\sqrt{\frac{E_{\bf{q}}}{E_{\bf{p}}}}\\
&\times&[a_{\bf{p}}, a_{\bf{q}}^\dagger ]e^{-i({\bf{p}\cdot\bf{x}}-{\bf{q}\cdot\bf{y}})}-[a_{\bf{p}},b_{\bf{q}}]e^{-i({\bf{p}\cdot\bf{x}}+{\bf{q}\cdot\bf{y}})}+
[b_{\bf{p}}^\dagger, a_{\bf{q}}^\dagger ]e^{i({\bf{p}\cdot\bf{x}}+{\bf{q}\cdot\bf{y}})}-
[b_{\bf{p}}^\dagger, b_{\bf{q}}]e^{i({\bf{p}\cdot\bf{x}}-{\bf{q}\cdot\bf{y}})}]\\
\,\,\,
%%%
\end{eqnarray}
}

「ここで、(2.29)式と同様に、生成・消滅演算子 a_{\bf{p}}^\dagger, a_{\bf{q}}の交換関係 [a_{\bf{p}}, a_{\bf{p}'}^\dagger]および生成・消滅演算子 b_{\bf{p}}^\dagger, b_{\bf{p}}の交換関係 [b_{\bf{p}}, b_{\bf{p}'}^\dagger]が次のようになるものと定義します」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
[a_{\bf{p}}, a_{\bf{p}'}^\dagger]&=&(2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{p}'}).
\end{eqnarray}
}
(2.29)


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
[a_{\bf{p}}, a_{\bf{q}}^\dagger]&=&[b_{\bf{p}}, b_{\bf{q}}^\dagger]
=(2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{q}}).
\end{eqnarray}
}

「一方、生成演算子同士の交換関係および消滅演算子同士の交換関係はゼロになるものとします」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
[a_{\bf{p}}, a_{\bf{q}}]&=&[b_{\bf{p}}, b_{\bf{q}}]
=[a_{\bf{p}}^\dagger, a_{\bf{q}}^\dagger]=0\\
[a_{\bf{p}}, b_{\bf{q}}]&=&[a_{\bf{p}}^\dagger, b_{\bf{q}}^\dagger]=0
\end{eqnarray}
}

「そこで、これらの関係式を上式の[\phi({\bf{x}}), \pi({\bf{y}})]に代入すると、次のようになります」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
[\phi({\bf{x}}), \pi({\bf{y}})]
&=&\int\frac{d^3{\bf{p}}d^3{\bf{q}}}{(2\pi)^6}\frac{i}{2}\sqrt{\frac{E_{\bf{q}}}{E_{\bf{p}}}}\big\{
[a_{\bf{p}}, a_{\bf{q}}^\dagger ]e^{-i({\bf{p}\cdot\bf{x}}-{\bf{q}\cdot\bf{y}})}-
[b_{\bf{p}}^\dagger, b_{\bf{q}} ]e^{i({\bf{p}\cdot\bf{x}}-{\bf{q}\cdot\bf{y}})}\big\}\\
%%%
&=&\int\frac{d^3{\bf{p}}d^3{\bf{q}}}{(2\pi)^6}\frac{i}{2}\sqrt{\frac{E_{\bf{q}}}{E_{\bf{p}}}}\big\{
(2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{q}})e^{-i({\bf{p}\cdot\bf{x}}-{\bf{q}\cdot\bf{y}})}+
(2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{q}}-{\bf{p}})e^{i({\bf{p}\cdot\bf{x}}-{\bf{q}\cdot\bf{y}})}\big\}\\
%%%
&=&\int\frac{d^3{\bf{p}}}{(2\pi)^3}\frac{i}{2}\big(e^{-i{\bf{p}}({\bf{x}}-{\bf{y}})}+e^{i{\bf{p}}({\bf{x}}-{\bf{y}})}\big)\\
%%%
&=&\int\frac{d^3{\bf{p}}}{(2\pi)^3}\frac{i}{2}\big(e^{i{\bf{p}}({\bf{y}}-{\bf{x}})}+e^{i{\bf{p}}({\bf{x}}-{\bf{y}})}\big)\\
\end{eqnarray}
}

「ここで、デルタ関数フーリエ変換の関係を使います」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}e^{i{\bf{p}(\bf{x}-\bf{y})}}
&=&\delta^{(3)}({\bf{x}}-{\bf{y}}).
\end{eqnarray}
}

「すると、複素スカラー場の正準交換関係の計算は結局、次のようになります」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
[\phi({\bf{x}}), \pi({\bf{y}})]
&=&\int\frac{d^3{\bf{p}}}{(2\pi)^3}\frac{i}{2}\big(e^{i{\bf{p}}({\bf{y}}-{\bf{x}})}+e^{i{\bf{p}}({\bf{x}}-{\bf{y}})}\big)\\
%%%
&=&\int\frac{1}{(2\pi)^3}\frac{i}{2}[(2\pi^3)\delta^{(3)}{\bf{p}}({\bf{y}}-{\bf{x}})+(2\pi^3)\delta^{(3)}({\bf{x}}-{\bf{y}})]\\
&=&\frac{i}{2}2\delta^{(3)}({\bf{x}}-{\bf{y}})\\
&=&i\delta^{(3)}({\bf{x}}-{\bf{y}})
\end{eqnarray}
}