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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

生成・消滅演算子で表した複素スカラー場のハミルトニアン3


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
H&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{q}}}}\\
&\times&\big[ \big(E_{\bf{p}}E_{\bf{q}}+{\bf{p}}{\bf{q}}+m^2\big)\big(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}} e^{i(E_{\bf{p}}-E_{\bf{q}})t} +b_{\bf{p}}b_{\bf{q}}^\dagger e^{-i(E_{\bf{p}}-E_{\bf{q}})t} \big) (2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{q}})\\
&-&\big(E_{\bf{p}}E_{\bf{q}}+{\bf{p}}{\bf{q}}-m^2\big)\big(a_{\bf{p}}^\dagger b_{\bf{q}}^\dagger e^{-i(E_{\bf{p}}+E_{\bf{q}})t} +b_{\bf{p}}a_{\bf{q}}^\dagger e^{i(E_{\bf{p}}+E_{\bf{q}})t} \big) (2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{p}}+{\bf{q}})\big]\\
%%%
\end{eqnarray}
}

「ここで、 \delta^{(3)}({\bf{x}})は、 {\bf{x}}=0のときに \delta^{(3)}({\bf{x}})=1となり、それ以外の値では \delta^{(3)}({\bf{x}})=0となるというデルタ関数の性質から、上式の第3行目は、 \delta^{(3)}({\bf{p}}+{\bf{q}})から {\bf{p}}+{\bf{q}}=0の値のみが残ることがわかります。これから、 {\bf{p}}={-\bf{q}}の値を代入すると、第3行目のエネルギーの項は、 E_{\bf{p}}E_{\bf{q}}+{\bf{p}}{\bf{q}}-m^2=E_{\bf{p}}^2-{\bf{p}}^2-m^2となります」

デルタ関数の性質
{ \displaystyle
  \delta^{(3)}({\bf{x}}) = \left\{ \begin{array}{ll}
    1 & ({\bf{x}}=0) \\
    0 & ({\bf{x}}\neq0)
  \end{array} \right.
}

「一方、アインシュタインの関係式 E^2=m^2c^4+p^2c^2=\hbar^2\omega_{\bf{p}}^2 c=1, \hbar=1の自然単位系で表すと、 E^2=m^2+p^2=\omega_{\bf{p}}^2となります。これから、 E^2-p^2-m^2=0となりますが、これは上式の第3行目のエネルギーの項と同じ形をしています。したがって、上式の第3行目の項は消去でき、第2行目の項のみが残ります」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
H&=&\int d^3x(\dot{\phi}^*\dot{\phi}+\nabla\phi^*\nabla\phi +m^2\phi^*\phi)\\
&=&\int d^3x\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{q}}}}\\
&\times&\big(E_{\bf{p}}E_{\bf{q}}+{\bf{p}}{\bf{q}}+m^2\big)\big(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}} e^{i(E_{\bf{p}}-E_{\bf{q}})t} +b_{\bf{p}}b_{\bf{q}}^\dagger e^{-i(E_{\bf{p}}-E_{\bf{q}})t} \big) (2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{q}})
\end{eqnarray}
}

「また、デルタ関数\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{q}})についても同様に、 {\bf{p}}={\bf{q}}のときのみ値が残ることから、この関係を上式に代入すると、次のようになります」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
H&=&\int d^3x(\dot{\phi}^*\dot{\phi}+\nabla\phi^*\nabla\phi +m^2\phi^*\phi)\\
&=&\int d^3x\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{q}}}}\\
&\times&\big(E_{\bf{p}}E_{\bf{q}}+{\bf{p}}{\bf{q}}+m^2\big)\big(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}} e^{i(E_{\bf{p}}-E_{\bf{q}})t} +b_{\bf{p}}b_{\bf{q}}^\dagger e^{-i(E_{\bf{p}}-E_{\bf{q}})t} \big) (2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{q}})\\
%%%
&=&\int d^3x\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\bf{p}}}\big(E_{\bf{p}}^2+({\bf{p}}^2+m^2)\big)\big(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}}+b_{\bf{p}}b_{\bf{q}}^\dagger\big) \\
%%%
&=&\int d^3x\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\bf{p}}}\big(E_{\bf{p}}^2+ E_{\bf{p}}^2\big)\big(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}}+b_{\bf{p}}b_{\bf{q}}^\dagger\big) \\
%%%
&=&\int d^3x\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}E_{\bf{p}} \big(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}}+b_{\bf{p}}b_{\bf{q}}^\dagger\big)\\
\end{eqnarray}
}

「なお、途中の式変形において、アインシュタインの関係式 E^2=p^2+m^2を用いました」