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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

生成・消滅演算子で表した複素スカラー場の保存電荷3


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
Q&=&\int d^3x\frac{i}{2}(\phi^*\pi^*-\pi\phi)\\
&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{q}}}}\\
&\times&(E_{\bf{q}}+E_{\bf{p}})(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}}e^{-i(E_{\bf{q}}-E_{\bf{q}})\cdot{\bf{x}}}-b_{\bf{p}} b_{\bf{q}}^\dagger e^{-i(E_{\bf{q}}-E_{\bf{q}})\cdot{\bf{x}}})(2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{q}})
\end{eqnarray}
}

「次に、デルタ関数\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{q}})についても同様に、 {\bf{p}}={\bf{q}}のときのみ値が残ることから、この関係を上式に代入すると、次のようになります」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
Q&=&\int d^3x\frac{i}{2}(\phi^*\pi^*-\pi\phi)\\
&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{q}}}}\\
&\times&(E_{\bf{q}}+E_{\bf{p}})(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}}e^{-i(E_{\bf{q}}-E_{\bf{q}})\cdot{\bf{x}}}-b_{\bf{p}} b_{\bf{q}}^\dagger e^{-i(E_{\bf{q}}-E_{\bf{q}})\cdot{\bf{x}}})(2\pi^3)\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{q}})\\ 
&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}2E_{\bf{p}}(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{p}}e^{-i(E_{\bf{p}}+E_{\bf{p}})\cdot{\bf{x}}}-b_{\bf{p}} b_{\bf{p}}^\dagger e^{-i(E_{\bf{p}}-E_{\bf{p}})\cdot{\bf{x}}})\\ 
&=&\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{p}}-b_{\bf{p}} b_{\bf{p}}^\dagger)\\ 
\end{eqnarray}
}

「ここで、交換関係 [ b_{\bf{p}}, b_{\bf{p}}^\dagger]= b_{\bf{p}}b_{\bf{p}}^\dagger- b_{\bf{p}}^\dagger b_{\bf{p}}から、 b_{\bf{p}}b_{\bf{p}}^\dagger=[ b_{\bf{p}}, b_{\bf{p}}^\dagger]+ b_{\bf{p}}^\dagger b_{\bf{p}}となり、これを上式に代入すると、次のようになります」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
Q&=&\int d^3x\frac{i}{2}(\phi^*\pi^*-\pi\phi)\\
&=&\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{p}}-b_{\bf{p}} b_{\bf{p}}^\dagger)\\ 
&=&\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{p}}- b_{\bf{p}}^\dagger b_{\bf{p}}-[ b_{\bf{p}}, b_{\bf{p}}^\dagger])\
\end{eqnarray}
}

「最後の項は、定数、すなわち古典的なc数であり、ハミルトニアンの計算の場合と同様に、この定数項を無視すると、保存電荷 Qの式は結局、次のようになることがわかります」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
Q&=&\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{p}}- b_{\bf{p}}^\dagger b_{\bf{p}}).
\end{eqnarray}
}

「これから、2種類の生成・消滅演算子の積 a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{p}} b_{\bf{p}}^\dagger b_{\bf{p}}は、保存電荷に対して互いに逆符号で結ばれていることがわかります。これから、複素スカラー場のクライン‐ゴルドン場の理論から導かれた2種類の粒子は、同一のエネルギーEおよび質量mを有するだけでなく、互いに正反対の電荷を有することがわかります」

複素スカラー場のクライン‐ゴルドン場の理論から導かれた2種類の粒子
(1) 同一のエネルギーEおよび質量mを有する
(2) 互いに正反対の電荷を有する