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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

複素スカラー場の保存電荷1

「それでは次に、問題2.2dを解いてみます」

問題2.2d:同一の質量を有する2つの複素クライン‐ゴルドン場の場合を考えよ。場を \phi_a(x) (a=1,2)としなさい。いま、4つの保存電荷があり、1つは問題(c)の一般化によって与えられ、残りの3つは、次の式によって与えられることを示せ。

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
Q&=&\int d^3x\frac{i}{2}(\phi_a^*(\sigma^i)_{ab}\pi_b^*-\pi_a(\sigma^i)_{ab}\phi_b)
\end{eqnarray}
}

ここで、 \sigma^iはパウリのシグマ行列である。これらの3つの電荷角運動量(SU(2))の交換関係を有することを示せ。これらの結果をnの同一の複素スカラー場の場合に一般化せよ。

「それでは、問題2.2dを解いていきましょう。クライン‐ゴルドン場に従う複素スカラー \phiラグランジアン \mathcal{L}は、次のように書くことができることは以前お話しました」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\mathcal{L}&=&\partial_\mu\phi^*\partial^\mu\phi-m^2\phi^*\phi.
\end{eqnarray}
}

「それゆえ、同一の質量を有する2つの複素クライン‐ゴルドン場のラグランジアンは、添字 aを使って次のように書くことができます」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\mathcal{L}&=&\partial_\mu\phi_a^*\partial^\mu\phi_a-m^2\phi_a^*\phi_a.
\end{eqnarray}
}

「このラグランジアンは、 \thetaを任意定数として、位相変換 \phi_a\rightarrow e^{i\theta}\phi_aに対して不変となることがわかります。なぜなら、 \phi_a, \phi_a^*とがペアで現れるため、指数関数 e^{i\theta} e^{-i\theta}とが互いに相殺しあうためです」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\phi_a\phi_a^*&\rightarrow& (e^{i\theta}\phi_a)(e^{-i\theta}\phi_a^*)=\phi_a\phi_a^*\\
\partial_\mu\phi_a^*\partial^\mu\phi_a&\rightarrow&(e^{-i\theta}\partial^\mu\phi_a^*)(e^{i\theta}\partial^\mu\phi_a)=\partial_\mu\phi_a^*\partial^\mu\phi_a
\end{eqnarray}
}