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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

複素スカラー場の保存電荷2

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\mathcal{L}&=&\partial_\mu\phi_a^*\partial^\mu\phi_a-m^2\phi_a^*\phi_a.
\end{eqnarray}
}

「このラグランジアンは、 \thetaを任意定数として、位相変換 \phi_a\rightarrow e^{i\theta}\phi_aに対して不変となることがわかります。それゆえ、ネーターの定理から保存電流(ネーター・カレント)が存在することが分かります。そこで、(2.12)式に基づき、上のラグランジアンからネーター・カレントを導いてみます」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\partial_\mu j^\mu(x)=0, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \mathrm{for}\,\,\,\,\,\, j^\mu(x)=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\Delta\phi-\mathcal{J}^\mu
\end{eqnarray}
}
(2.12)

「ここで、変換 \phi_a\rightarrow e^{i\theta}\phi_aは、2種類の場 \phi_a, \phi_a^*の変動によるものなので、(2.12)式において、2種類の場 \phi_a, \phi_a^*からの寄与のみを考慮します」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
j^\mu(x)&=&\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi_a)}\Delta\phi_a+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi_a^*)}\Delta\phi _a^*
\end{eqnarray}
}

「次に、 \Delta\phi_aを求めるため、位相変換 \phi_a\rightarrow e^{i\theta}\phi_aの位相 \thetaが微小量(\theta\ll 1)だけ変化したときを想定して、一次の項までテーラー展開してみます」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
e^{i\theta}\phi_a&\simeq&(1+i\theta)\phi_a=\phi_a+i\theta\phi_a
\end{eqnarray}
}

「また、このときの\phi_aの変化量を \phi_a\rightarrow\phi_a+\theta\Delta\phi_aとして、上式と比較すると、 \Delta\phi_a= i\phi_aとなることが分かります。」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
e^{i\theta}\phi_a&\simeq&(1+i\theta)\phi_a=\phi_a+i\theta\phi_a\\
&=&\phi_a+\theta\Delta\phi_a
\end{eqnarray}
}

「同様に、変換 \phi_a^*\rightarrow e^{-i\theta}\phi_a^*を一次の項までテーラー展開すると、 \Delta\phi_a^*=-i\phi_a^*が導けます。したがって、複素スカラー場のネーター・カレントの式は、次のようになることがわかります」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
j^\mu(x)&=&\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi_i)}\Delta\phi_i+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi_i^*)}\Delta\phi _i^*\\
&=& i\phi_i \partial_\mu\phi_i^*- i\phi _i^*\partial_\mu\phi_i\\
&=& i(\phi_i \partial_\mu\phi_i^*- \phi _i^*\partial_\mu\phi_i)
\end{eqnarray}
}