読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

複素スカラー場の保存電荷3

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
j^\mu(x)&=&\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi_i)}\Delta\phi_i+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi_i^*)}\Delta\phi _i^*\\
&=& i\phi_i \partial_\mu\phi_i^*- i\phi _i^*\partial_\mu\phi_i\\
&=& i(\phi_i \partial_\mu\phi_i^*- \phi _i^*\partial_\mu\phi_i)
\end{eqnarray}
}

「複素スカラー場のネーター・カレントの式から、保存電荷であるネーター・チャージ(電荷)の式を導くことができます」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
Q\equiv\int_{\mathrm{all \, space}}j^0d^3x
\end{eqnarray}
}
(2.13)

「ネーター・チャージQは、上の(2.13)式のように、ネーター・カレントの式の第0成分(時間成分)を全空間で積分した式となります。そこで、複素スカラー場のネーター・カレントの式を上の(2.13)式に代入することにより、保存電荷の式を導くことができます」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
Q&\equiv&\int_{\mathrm{all \, space}}j^0d^3x\\
&=& i\int (\phi_a \partial_0\phi_a^*- \phi _a^*\partial_0\phi_a) d^3x\\
&=& i\int (\phi_a \dot{\phi}_a^*- \phi _a^*\dot{\phi}_a) d^3x\\
&=& i\int (\phi_a \pi_a- \phi _a^*\pi_a^*) d^3x\\
\end{eqnarray}
}

「ただし、 \partial_0\phi_a^*=\dot{\phi}_a^*=\pi_a, \partial_0\phi_a=\dot{\phi}_a=\pi_a^*の関係を用いました。したがって、複素スカラー場の保存電荷の式は、次のようになります」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
Q&=& i\int (\phi_a \pi_a- \phi _a^*\pi_a^*) d^3x\\
\end{eqnarray}
}