立体角とは - スーパーサイエンスガール

図1.1
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超絶難解な問題１：以下の式を導け。ただし、 $d\sigma$ ：微分断面積、 $d\Omega$ ：立体角とする。
${ \displaystyle \frac{d\sigma}{d\Omega}=\frac{1}{64\pi^2E_{\rm cm}^2}\cdot|M|^2 }$

「誰かと思ったら、大和（やまと）じゃない？」
　一宮に話しかけられて、武者さんは顔を上げて一宮をじっと見つめた。大和とは、武者さんのファーストネームだ。
「ちょうどいいわ！」
　一宮の顔がぱっと輝いた。

「ねえ、大和。今日って、なんかさ、こう……立体カクカクな気分じゃない？」
　武者さんは、一宮の意図を把握しそこねたのか、首を小さく傾けた。立体カクカクな気分って、一体どんな気分なんだよ？
「だから、なんか立体っぽくって、カクカクした話がしたくない？　たとえば『立体角』っぽい話とか」
　なんというか、素直に、『立体角について教えてください。武者様！』と頼めないところが、こいつの性格の難点だ。

　だが、武者さんは、一宮の意図がようやく理解できたのか、読んでいた頁にしおりをはさんで本を閉じた。本のタイトルは、P・A・M・ディラックの『量子力学』だった。

　武者さんは、無言で立ち上がると、ホワイトボードのそばまで歩いてきた。そして、マーカーを手に取るとホワイトボードに説明を書き込みはじめた。
「順序からいえば、平面角を学んでから立体角について学ぶのが理解もしやすく、かつ効率的」
　ホワイトボードに向かって、武者さんが独り言のように呟く。

「平面角の場合、頂点Oから伸びる半直線OAとOBによって区切られた扇形の角度θは、半直線OAとOBの開き具合、すなわち、円弧ABの長さで定めることができる。　つまり、円弧ABの長さが長ければ長いほど、平面角θも大きくなる。だから、この円弧ABの長さで角度を定めようというのが、平面角の考え方」

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「ここで、円の半径rを1としたとき、その円周の長さは $2\pi$ で表される。それゆえ、最大の平面角は $2\pi$ （ラジアン）で表される」
「つまり、円弧の長さで扇形の角度を定めようってわけね」
　一宮の言葉に、武者は無言で頷いた。

平面角の考え方
円弧ABの長さが長ければ長いほど、平面角θも大きくなる
　↓
円弧ABの長さ（0 ~ 2π）で角度を定める

「立体角の考え方も、平面角の考え方と基本は同じ」
　そう言って、武者さんは平面角の説明の右側に立体角の説明を書き込み始めた。

「立体角の場合、頂点Oから放射状に伸びる無数の半直線によって区切られた錐体（すいたい）の立体角 $d\Omega$ は、錐体の広がり具合、すなわち半直線と球との交点で区切られた面領域dSの面積で定めることができる。つまり、面領域dSの面積が大きければ大きいほど、立体角 $d\Omega$ も大きくなる。だから、この面領域dSの面積の大きさで角度を定めようというのが、立体角の考え方」

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