演算子とは - スーパーサイエンスガール

「次に、下の式の意味について説明します」
　石原は説明を続けた。

始状態： $\mid i\,\rangle=a_{\bf p}^{\dagger}a_{-\bf p}^{\dagger}\mid 0\,\rangle$
終状態： $\mid f\,\rangle=b_{\bf k}^{\dagger}b_{-\bf k}^{\dagger}\mid 0\,\rangle$

「 $\mid 0\,\rangle$ は、粒子が全く存在しない（粒子数が0の）状態、すなわち真空状態を表します」

$\mid 0\,\rangle$ ：粒子数が0の状態（真空状態）

「また、 $a_{\bf p}^{\dagger}, a_{-\bf p}^{\dagger}$ はそれぞれ、運動量p, -pの粒子を生成する演算子（えんざんし）です」
「演算子？」
　一宮が間髪入れずに突っこむ。石原は少し考え込んだ。

「演算子の厳密な定義を長々と説明すると、退屈のあまり一宮さんが眠ってしまわれるので、ここではごくごく大ざっぱに直観的なイメージを述べさせていただきます。演算子の厳密な定義については、あとでしかるべき教科書を参照してください」
　一宮の性格を知り尽くしているじゃないか、石原よ。

「ざっくりしたイメージをいえば、ここでの演算子は、空間の状態に作用して新たな（または同一の）空間の状態を生み出すものと考えるといいです。空間の状態に作用するので、演算子は作用素（さようそ）とも呼ばれます」

演算子（作用素）：空間の状態に作用して新たな（または同一の）空間の状態を生み出すもの

「例えば、真空状態 $\mid 0\,\rangle$ に演算子 $a_{\bf p}^{\dagger}$ が作用すると、運動量pの粒子が１つだけ生成され、粒子が１つだけ存在する新たな状態（１粒子状態）が生まれます。つまり、 $a_{\bf p}^{\dagger}$ は、粒子を生成させる演算子なので、生成演算子と呼ばれます」

$a_{\bf p}^{\dagger}$ ：粒子を生成させる演算子（生成演算子）
　↓
$a_{\bf p}^{\dagger}\mid 0\,\rangle$ ：真空状態 $\mid 0\,\rangle$ から運動量pの粒子が１つだけ生成された状態（１粒子状態）

「同様に、真空状態 $\mid 0\,\rangle$ に演算子 $a_{\bf -p}^{\dagger}$ が作用すると、運動量-pの粒子が１つだけ生成されます」

$a_{\bf -p}^{\dagger}\mid 0\,\rangle$ ：真空状態 $\mid 0\,\rangle$ から運動量-pの粒子が１つだけ生成された状態（１粒子状態）

「ここまでは、よろしいでしょうか？」
　石原は、一宮の顔色を伺うように言葉を切った。

「ということは、 $a_{\bf p}^{\dagger}a_{-\bf p}^{\dagger}\mid 0\,\rangle$ は、真空状態 $\mid 0\,\rangle$ に２つの生成演算子を作用させて、運動量pと運動量-pの２つの粒子が存在する新たな状態（２粒子状態）が生まれたことを意味するのね？」

$a_{\bf p}^{\dagger}a_{-\bf p}^{\dagger}\mid 0\,\rangle$ ：真空状態 $\mid 0\,\rangle$ から運動量p, -pの２つの粒子が生成した状態（２粒子状態）

　一宮の指摘に石原が頷いた。
「ざっくりいってそういうことです。これは下の図の、運動量 $\bf p$ の電子 $e^-$ と運動量 $\bf p^\prime(=-p)$ の陽電子 $e^+$ の2つの粒子が存在する状態に相当します」
図1.1
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「この運動量 $\bf p$ の電子 $e^-$ と運動量 $\bf -p$ の陽電子 $e^+$ の２粒子が存在する状態を始状態、すなわち初期状態であるとして、これを $\mid i\,\rangle$ とおくわけです。ここで、iは、初期状態（initial state）のinitialの頭文字をとったものです」

始状態： $\mid i\,\rangle=a_{\bf p}^{\dagger}a_{-\bf p}^{\dagger}\mid 0\,\rangle$