ディラックのデルタ関数とは - スーパーサイエンスガール

散乱の微小確率： $d\sigma=\frac{|\langle\,f\mid \hat{S} \mid i\,\rangle|^2}{\langle\,i\mid i\,\rangle}$ $\frac{d\bf{p}}{(2\pi)^32E_p}$ $\frac{d\bf{k}}{(2\pi)^32E_k}$

「ところで、分子のブラケット $\langle\,f\mid \hat{S} \mid i\,\rangle$ は、散乱振幅 $M$ を使って、次のように書くことができます」

$\langle\,f\mid \hat{S} \mid i\,\rangle=(2\pi)^4\delta(k+k^\prime-p-p^\prime)M$

「ここで、 $\delta(x)$ は、デルタ関数と呼ばれる関数です。 $\delta$ は、 $d$ に相当するギリシャ語のアルファベットであり「デルタ」と発音します。デルタ関数は、イギリスの理論物理学者であるP.A.M.ディラックが最初に定義して量子力学の定式化に用いたことから、ディラックデルタとも呼ばれます。デルタ関数は、下図のように $x=0$ で $\delta(x)=1$ 、それ以外の部分（ $x\neq 0$ ）では $\delta(x)=0$ となる関数です」

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「もっとも厳密には、関数ではなく、超関数と呼ばれるものですが。ディラックのデルタ関数は、ある特定のxの値のみを取り出したいときにしばしば用いられます。例えば、 $\delta(k+k^\prime-p-p^\prime)$ の意味は、 $k+k^\prime-p-p^\prime=0$ 、すなわち、衝突前の運動量の和 $p+p^\prime$ と衝突後の運動量の和 $k+k^\prime$ が等しい場合に $\delta(k+k^\prime-p-p^\prime)=1$ となり、それ以外の場合には $\delta(k+k^\prime-p-p^\prime)=0$ となることを示しています」

$k+k^\prime=p+p^\prime$ （粒子の衝突前後で運動量が保存される）の場合、 $\delta(k+k^\prime-p-p^\prime)=1$
$k+k^\prime\neq p+p^\prime$ の場合、 $\delta(k+k^\prime-p-p^\prime)=0$
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粒子の衝突前後の運動量が保存される場合にのみ散乱が生じる