ブラケットの具体的な計算法 - スーパーサイエンスガール

反交換関係 $\{a_i, a_j^\dagger\}=\delta_{ij}, \{a_i^\dagger, a_j^\dagger\}= \{a_i, a_j\}=0$
（ただし、 $\delta_{ij}=1\,(i=j)$ 、 $\delta_{ij}=0\,(i\neq j)$
　また、 $\{A, B\}=AB+BA$ ）

「一般的にフェルミ粒子の反交換関係は、上式のようになりますが、相対論的な効果を考慮すると、ローレンツ不変な不変規格化定数 $(2\pi)^32E_p$ が右辺にかかります」

反交換関係 $\{a_{\bf{p}}, a_{\bf{p^\prime}}^\dagger\}=(2\pi)^32E_{p}\delta(\bf{p}-\bf{p^\prime}), \{a_{\bf{p}}^\dagger, a_{\bf{p^\prime}}^\dagger\}= \{a_{\bf{p}}, a_{\bf{p^\prime}}\}=0$

「ここで、運動量 $\bf{p}, \bf{p}^\prime$ の連続性から、 $\delta(\bf{p}-\bf{p}^\prime)$ としていることに注意してください。フェルミ粒子は、同種粒子でない場合は、粒子の入れ替えに対する波動関数の正負の符号の反転は生じないので、電子 $e^-$ と陽電子 $e^+$ の間には、反交換関係は成り立ちません。それゆえ、電子 $e^-$ の生成・消滅演算子 $a_{\bf{p}}^{\dagger}, a_{\bf{p}}$ と陽電子 $e^+$ の生成・消滅演算子 $a_{\bf{k}}^{\dagger}, a_{\bf{k}}$ とは、自由に入れ替えることができます。」

$\langle i\mid i\rangle= \langle 0\mid\alpha_{\bf{k}}a_{\bf{p}}a_{\bf{p}}^{\dagger}\alpha_{\bf{k}}^{\dagger}\mid 0\rangle=\langle 0\mid a_{\bf{p}}a_{\bf{p}}^{\dagger}\alpha_{\bf{k}}\alpha_{\bf{k}}^{\dagger}\mid 0\rangle$

「一方、電子 $e^-$ の生成・消滅演算子 $a_{\bf{p}}^{\dagger}, a_{\bf{p}}$ 同士では、反交換関係の式 $\{a_{\bf{p}}, a_{\bf{p^\prime}}^\dagger\}=(2\pi)^32E_{p}\delta(\bf{p}-\bf{p^\prime})$ が成り立ちます。それゆえ、電子 $e^-$ について $a_{\bf{p}}a_{\bf{p^\prime}}^\dagger=(2\pi)^32E_{p}\delta(\bf{p}-\bf{p^\prime})-a_{\bf{p^\prime}}^\dagger a_{\bf{p}}$ の関係を適用し、陽電子 $e^+$ についても同様の関係を適用すると、次のようになります」

$\langle i\mid i\rangle=\langle 0\mid a_{\bf{p}}a_{\bf{p}}^{\dagger}\alpha_{\bf{k}}\alpha_{\bf{k}}^{\dagger}\mid 0\rangle$
$=\langle 0\mid\{(2\pi)^32E_{p}\delta(\bf{p}-\bf{p^\prime})-a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{p}}\}\{(2\pi)^32E_{k}\delta(\bf{k}-\bf{k^\prime})-a_{\bf{k}}^\dagger a_{\bf{k}}\}\mid 0\rangle$
$=\langle 0\mid(2\pi)^32E_{p}\delta(\bf{p}-\bf{p^\prime})(2\pi)^32E_{k}\delta(\bf{k}-\bf{k^\prime})\mid 0\rangle$

「 $a_{\bf{p}}\mid 0\rangle$ と $a_{\bf{k}}\mid 0\rangle$ は、いずれも粒子が存在しない真空状態 $\mid 0\rangle$ に粒子を消滅させる消滅演算子 $a_{\bf{p}}, a_{\bf{k}}$ を作用させるものであるため、0になります。ここで、電子 $e^-$ と陽電子 $e^+$ が体積 $V$ の空間で衝突するものとすると、運動量空間の積分では、 $\bf{p},\bf{k}$ それぞれの積分につき、 $\frac{V}{(2\pi)^3}$ の係数がかかるので。結局、始状態の $\langle i\mid i\rangle$ は次のようにかくことができます」

$\langle i\mid i\rangle=4E_{p}E_{k}V^2$