スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

4元ベクトルとは

量子力学

$M\sim\langle\mu^+\mu^- \mid H_I\mid\gamma\rangle^\mu\langle\gamma\mid H_I\mid e^+e^-\rangle_\mu$ (1.3)

「この隅っこに付いている $\mu$ は、なによ？」
　一宮が尋ねる。
「 $\mu$ は、相対論的な４元ベクトルをあらわす添え字。相対論では、１次元の時間成分と３次元の空間成分とを区別せず、時空間を一体のものと考えるから、時間の座標 $t$ と空間の座標 $x, y, z$ をひとまとめにして次のようにあらわす」

$x^\mu=(ct, x, y, z)$

「４元ベクトル $x^\mu$ は４次元空間上の１点をさす」

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「右下に $\mu$ の添え字が付く場合は、時間成分の符号が反転した４元ベクトルをあらわし、これを共変ベクトル（convariant vector）と呼ぶ」

$x_\mu=(-ct, x, y, z)$

「また、共変ベクトル（convariant vector） $x_\mu$ と区別するため、 $x^\mu$ を反変ベクトル（cotravariant vector）と呼ぶ」

反変ベクトル $x^\mu=(ct, x, y, z)$
共変ベクトル $x_\mu=(-ct, x, y, z)$

「そして、反変ベクトル $a^\mu$ と共変ベクトル $b_\mu$ をかけ合わせた $a^\mu b_\mu$ は、４元ベクトルの内積に対応し、 $a^\mu b_\mu=a^1b_1+a^2b_2+a^3b_3+a^4b_4$ とかける」

４元ベクトルの内積 $a^\mu b_\mu=a^1b_1+a^2b_2+a^3b_3+a^4b_4$

「４元ベクトルの内積は、ローレンツ変換に対して不変だから、上の遷移振幅 $M$ もローレンツ不変量となる」