３次元の回転行列 - スーパーサイエンスガール

「結局、行列要素 $\langle\gamma\mid H_I\mid e^+e^-\rangle_\mu$ は、次のように、電荷の強さ $e$ と回転分極ベクトル $(0, 1, i, 0)$ を用いて、次のようにかくことができる」

$\langle\gamma\mid H_I\mid e^+e^-\rangle_\mu\propto e(0, 1, i, 0)$ (1.4)

「次に、ミュー粒子 $\mu^-$ の進行方向が、電子 $e^-$ の進行方向に対して、xz平面上で角度 $\theta$ だけ回転しているものとする」

Fig.1.3
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「ここで、 $xz$ 平面内の角度 $\theta$ の回転をあわらす行列は次のようにかける」

$\begin{pmatrix} x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \cos{\theta}&0&\sin{\theta}\\ 0&1&0\\ {-}\sin{\theta}&0&\cos{\theta}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$

「この $(x, y, z)$ に、電子 $e^-$ のスピンを表す空間ベクトル $(x, y, z)=(1, i, 0)$ を代入すると、 $xz$ 平面内で角度 $\theta$ だけ回転したミュー粒子 $\mu^-$ のスピンを表す空間ベクトル $(x^\prime, y^\prime, z^\prime)$ が求められる」

$\begin{pmatrix} \cos{\theta}\\ i \\ {-}\sin{\theta} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \cos{\theta}&0&\sin{\theta}\\ 0&1&0\\ {-}\sin{\theta}&0&\cos{\theta}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ i \\ 0 \end{pmatrix}$