スピンを考慮した２粒子系の全散乱断面積 - スーパーサイエンスガール

$M(RL\rightarrow RL)=-e^2(1+\cos{\theta})$
$M(RL\rightarrow LR)=-e^2(1-\cos{\theta})$
$M(LR\rightarrow RL)=-e^2(1-\cos{\theta})$
$M(LR\rightarrow LR)=-e^2(1+\cos{\theta})$

「これらの式から、 $|M|^2$ は次のようになる」

$|M|^2=e^4(1+\cos{\theta})^2+e^4(1-\cos{\theta})^2=e^4(1+\cos^2{\theta})$

「この $|M|^2$ を(1.1)式に代入すると、スピンを考慮した２粒子系の散乱の微分断面積が求められる」

散乱の微分断面積：
${ \displaystyle \begin{eqnarray} \frac{d\sigma}{d\Omega}&=&\frac{1}{64\pi^2E_{\rm cm}^2}\cdot|M|^2 &=&\frac{e^4}{64\pi^2E_{\rm cm}^2}(1+\cos^2{\theta}) &=&\frac{\alpha^2}{4E_{\rm cm}^2}(1+\cos^2{\theta}) \,(1.8) \end{eqnarray} }$

「ここで、 $\alpha=e^2/4\pi\simeq1/137$ （自然単位系では素電荷 $e=0.30282212$ 、 $\alpha$ は微細構造定数と呼ばれる）とした。上の式を角度変数 $\theta$ と $\phi$ について積分すると、全散乱断面積 $\sigma_{\rm total}$ は、次のように求められる」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \sigma_{\rm total}&=&\int{\rm d}\sigma\\ &=&\int\frac{{\rm d}\sigma}{{\rm d}\Omega}{\rm d}\Omega\\ &=&\int_0^{2\pi}{\rm d}\phi\int_0^\pi\frac{{\rm d}\sigma}{{\rm d}\Omega}\sin{\theta}{\rm d}\theta\\ &=&2\pi\int_0^\pi\frac{{\rm d}\sigma}{{\rm d}\Omega}\sin{\theta}{\rm d}\theta\\ &=&\frac{\pi\alpha^2}{2E_{\rm cm}^2}\int_0^\pi(1+\cos^2{\theta})\sin{\theta}{\rm d}\theta\\ &=&-\frac{\pi\alpha^2}{2E_{\rm cm}^2}\int_0^\pi(1+\cos^2{\theta}){\rm d}\cos{\theta} \\ &=&-\frac{\pi\alpha^2}{2E_{\rm cm}^2}\bigg[\cos{\theta}+\frac{1}{3}\cos^3{\theta}\bigg]_0^\pi\\ &=&-\frac{\pi\alpha^2}{2E_{\rm cm}^2}\bigg(-2 -\frac{2}{3}\bigg)\\ &=&\frac{4\pi\alpha^2}{3E_{\rm cm}^2}\\ \end{eqnarray} }$