ガンマ行列とは - スーパーサイエンスガール

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「ところで、この $-ie\bf{\gamma}^{\bf{\mu}}$ の $\bf{\gamma}^{\bf{\mu}}$ って何よ？」
「 $\bf{\gamma}^{\bf{\mu}}$ は、４つ１組の4×4の行列で、ガンマ行列と呼ばれる」
「ガンマ行列？」
「ガンマ行列 $\bf{\gamma}^{\bf{\mu}}$ は、ディラック・パウリ行列 $\alpha_i, \beta$ を用いて次のように定義される」

$\gamma^\mu=(\gamma^0, \gamma_i)$ 　ただし、 $\gamma^0=\beta, \gamma_i=\beta\alpha_i$

「ディラック・パウリの行列 $\alpha_i, \beta$ は、次のような4×4の行列であり、相対論的な波動方程式であるディラック方程式の係数として知られる」

${ \displaystyle \alpha_i= \begin{pmatrix} \bf{0} & \sigma_i \\ \sigma_i & \bf{0} \end{pmatrix} \quad \beta= \begin{pmatrix} \bf{1} & \bf{0} \\ \bf{0} & \bf{-1} \end{pmatrix} }$ 　

「ここで、 $\alpha, \beta$ 行列の $\bf{0}, \bf{1}$ は、それぞれ2×2の0行列と単位行列をあらわす」

${ \displaystyle {\bf{0}}= \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \quad {\bf{1}}= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} }$ 　

「また、 $\sigma_i$ は、以下のような2×2のパウリ行列をあらわす」

${ \displaystyle \sigma_1= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \quad \sigma_2= \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} \quad \sigma_3= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} }$ 　

「パウリ行列 $\sigma_i$ は、スピンと関係している。実際、スピン $\frac{1}{2}$ のスピン演算子 $\hat{\bf{s}}$ は、次のようにパウリ行列を用いてかくことができる」

${ \displaystyle \hat{\bf{s}}=\frac{1}{2}\bf{\sigma} }$

「ディラック・パウリ行列 $\alpha_i, \beta$ の行列表示を用いて計算すると、ガンマ行列は次のような形になる」

${ \displaystyle \gamma^0= \begin{pmatrix} \bf{1} & \bf{0} \\ \bf{0} & -\bf{1} \end{pmatrix} \quad \gamma_i= \begin{pmatrix} \bf{0} & \sigma_i\\ {-\sigma_i} & \bf{0} \end{pmatrix} }$

「それゆえ、ガンマ行列 $\bf{\gamma}^{\bf{\mu}}$ は次のように4×4の行列の形にかける」

${ \displaystyle {\gamma_0}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \quad {\gamma_1}= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ {-1} & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }$ 　

${ \displaystyle {\gamma_2}= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & -i\\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \\ {-i} & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad {\gamma_3}= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ {-1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} }$