スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

ファインマン則から求めた遷移振幅の表式

量子力学

「外線の４成分の列スピノル u, vまたは行スピノル {\bf{\bar{u}}}, \bar{v}は、それぞれ始状態および終状態の運動量空間の波動関数で、 \mid e^+e^-\rangleおよび \langle \bf{\mu}^+\bf{\mu}^-\midに相当する」

図1.5
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「添字 s, s’, rおよび r’は、上向きスピンまたは下向きスピンのスピン状態をあらわす。ここで、上の図1.5のファインマン図の要素から直接、ファインマン則に従って対応する式を当てはめると、遷移振幅 Mは次のようになる」

{ \displaystyle \begin{eqnarray} M&=&\bar{v}^{s^\prime}(p^\prime)(-ie\gamma^\mu)u^s(p)\bigg(\frac{-ig_{\mu\nu}}{q^2}\bigg)\bar{u}^r(k)(-ie\gamma^\nu)v^{r^\prime}(k^\prime)\\ &=&\frac{ie^2}{q^2}(\bar{v}^{s^\prime}(p^\prime)\gamma^\mu u^s(p))( \bar{u}^r(k) \gamma_\mu v^{r^\prime}(k^\prime)) \, (1.10) \end{eqnarray} }


「上の計算では、 g_{\mu\nu}\gamma^\nu=\gamma_\muの関係を用いた。(1.10)式を代入すれば、微分断面積(1.8)式の具体的な値を導くことができる」

散乱の微分断面積：
{ \displaystyle \frac{d\sigma}{d\Omega}=\frac{1}{64\pi^2E_{\rm cm}^2}\cdot|M|^2\,(1.8) }

「これに関する計算は、セクション5.2で行うといっている。このように、ファインマン図を構成する要素（内線、外線および頂点）に対応する式を機械的に当てはめることで、遷移振幅 M、ひいては微分断面積の値を導くことができる」