完備関係式とは - スーパーサイエンスガール

「ここで、非相対論的な自由粒子を例に、この振幅 $U(t)$ の具体的な値を実際に計算してみましょう。非相対論において、質量 $m$ 、運動量 $p$ の自由粒子の運動エネルギーは、 $E=p^2/2m$ とかけるため、この式をハミルトニアン（ハミルトニアンは、一般化座標であらわしたエネルギー）に代入すると、次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} U(t)&=&\langle \bf{x}\mid e^{-i(\bf{p}^2/2m)t} \mid \bf{x}_0\rangle\\ &=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\langle \bf{x}\mid e^{-i(\bf{p}^2/2m)t} \mid\bf{p}\rangle\langle\bf{p}\mid \bf{x}_0\rangle \end{eqnarray} }$

「ここで、指数関数 $e^{-i(\bf{p}^2/2m)t}$ とケットベクトル $\mid \bf{x}_0\rangle$ との間に、積分による完備関係式、 $1=\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\mid\bf{p}\rangle\langle\bf{p}\mid$ を代入しました」
「完備関係式って何よ？」
　一宮が気だるそうに顔をしながら質問した。いまだに片手でシャープペンをいじり回している。
「完備関係式は、ケットベクトルの展開に関係する式です。例えば、任意のケットベクトル $\mid {\psi}\rangle$ は、完全正規直交系 $|\phi_n\rangle$ を用いて、次のように展開することができます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \mid {\psi}\rangle=\Sigma_{n}a_n \mid {\phi_n}\rangle \end{eqnarray} }$

「ここで、 $a_n$ は展開係数です」
「展開？」
　一宮が首を傾げた。いまいちピンと来ないらしい。そこで、越野さんはホワイトボードに図を描き始めた。

「任意のベクトル $\bf{V}$ は、下図のように、直交座標の各座標軸の方向に伸びる単位ベクトル $\bf{e}_x, \bf{e}_y, \bf{e}_z$ と係数 $a_x, a_y, a_z$ の積の和 ${\bf{V}}=\Sigma_{\{n=x, y, z\}}a_n{\bf{e}}_n$ の形に書きあらわすことができます」

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「このように、任意のベクトル $\bf{V}$ を完全正規直交系（ここでは、直交する単位ベクトル $\bf{e}_x, \bf{e}_y, \bf{e}_z$ ）の和の形に書き表すことを『展開』と呼びます」

展開：任意のベクトル $\bf{V}$ を完全正規直交系（ここでは、直交する単位ベクトル $\bf{e}_x, \bf{e}_y, \bf{e}_z$ ）の和の形に書き表すこと

「上の図において、展開係数 $a_n$ は、任意のベクトル $\bf{V}$ の各成分 $(a_x, a_y, a_z)$ に等しく、これらはベクトルの内積を用いて $a_n=\bf{e_n}\cdot\bf{V}$ のようにあらわすことができます」
「どうして展開係数の成分 $(a_x, a_y, a_z)$ がベクトルの内積になるのよ？」
「なぜなら、ベクトル $\bf{V}$ とベクトル ${\bf{e}}_x$ の内積 ${\bf{e}}_x\cdot{\bf{V}}$ は、単位ベクトル $\bf{e}_x$ に向かって光を当てたときに射影したベクトル $\bf{V}$ の成分の大きさ $a_x$ に相当するからです」

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「また、上の関係は、任意のケットベクトル $\mid {\psi}\rangle$ の展開についても、同様に成り立ちます。つまり、任意のベクトル $\bf{V}$ を任意のケットベクトル $\mid {\psi}\rangle$ に置き換え、各座標軸の方向に伸びる単位ベクトル $\bf{e}_n$ を正規直交系 $\mid \phi_n\rangle$ に置き換え、任意のベクトル $\bf{V}$ の各座標軸の成分 $a_n={\bf{e}}_n\cdot{\bf{V}}$ をケットベクトル $\mid {\psi}\rangle$ の展開係数 $a_n=\langle\phi_n \mid\psi\rangle$ に置き換えると、任意のケットベクトル $\mid {\psi}\rangle$ の展開式を得ることができます」

${\bf{V}}=\Sigma_{\{n=x, y, z\}}a_n{\bf{e}}_n=\Sigma_{\{n=x, y, z\}}({\bf{e}}_n\cdot{\bf{V}}){\bf{e}}_n=\Sigma_{\{n=x, y, z\}}{\bf{e}}_n({\bf{e}}_n\cdot{\bf{V}})$
　↓
任意のベクトル $\bf{V}$ →任意のケットベクトル $\mid {\psi}\rangle$
各座標軸の方向に伸びる単位ベクトル $\bf{e}_n$ →完全正規直交系 $\mid \phi_n\rangle$
任意のベクトル $\bf{V}$ の各座標軸の成分 $a_n={\bf{e}}_x\cdot{\bf{V}}$ →展開係数 $a_n=\langle\phi_n \mid\psi\rangle$
　↓
$\mid {\psi}\rangle=\Sigma_{n}a_n \mid {\phi_n}\rangle=\Sigma_{n}\langle \phi_n\mid\psi\rangle\mid {\phi_n}\rangle=\Sigma_{n} {\mid\phi_n}\rangle\langle \phi_n\mid\psi\rangle$

「ここで、上の展開式が任意のケットベクトル $\mid {\psi}\rangle$ で成り立つとき、上式の両辺からケットベクトル $\mid {\psi}\rangle$ を除いた次の式も成り立つものと考えることができます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} 完備関係式：1=\Sigma_{n}\mid {\phi_n}\rangle \langle \phi_n\mid \end{eqnarray} }$

「この関係式を『完備関係式』と呼びます。ここでは、Σの和の形で完備関係式を表しましたが、位置空間や運動量空間などの連続的な空間を考える場合は、完備関係式は、テキストのように積分形であらわされます」

積分による完備関係式
${ \displaystyle 1=\int d^3p \frac{1 }{(2\pi)^3}\mid\bf{p}\rangle\langle\bf{p}\mid }$

「ただし、3次元空間の積分形であらわした場合、フーリエ変換と同様に、 $\frac{1}{(2\pi)^3}$ の規格化因子がつくことに注意してください」