全微分とは - スーパーサイエンスガール

「ラグランジアン密度 $\mathcal{L}$ の作用積分Sは、次のように書くことができます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} S&=&\int L dt=\int \mathcal{L}(\phi, \partial_\mu\phi)d^4x \end{eqnarray} }$ (2.1)

「このテキストの主題は、場の理論なので、以下、 $\mathcal{L}$ を単に、ラグランジアンと呼ぶことにします。前回お話したように、最小作用の原理は、時間 $t_1$ と $t_2$ の間で、始点Oから終点Pに系が発展するとき、Sが極値（通常、極小値）となるような『経路』だけが残って発展していくという原理です。この条件を式で表すと、次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} 0&=&\delta S\\ &=&\int d^4x\bigg\{\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}\delta\phi+\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\delta(\partial_\mu\phi)\bigg\} \end{eqnarray} }$
(2.2)

「(2.2)式は、ラグランジアン $\mathcal{L}$ の変数 $\phi$ と $\partial_\mu\phi$ を、それぞれ微小量 $\delta \phi$ と $\delta(\partial_\mu\phi)$ だけ変化させても、作用積分Sの変動がゼロ、すなわちSが極値にある条件を示しています。(2.2)式の右辺の中括弧内の式の意味は、次のようになります」

(2.2)式の右辺の中括弧内の式の意味
（ $\phi$ の変化量に対する $\mathcal{L}$ の変化量の割合）×（ $\phi$ の微小変化量）+（ $\partial_{\mu}\phi$ の変化量に対する $\mathcal{L}$ の変化量の割合）×（ $\partial_{\mu}\phi$ の微小変化量）

「(2.2)式の右辺の中括弧内の式は、ラグランジアン $\mathcal{L}$ の変数 $\phi$ と $\partial_\mu\phi$ について、それぞれ微小量 $\delta \phi$ と $\delta(\partial_\mu\phi)$ だけ変化させたときの $\mathcal{L}$ の微小変化量 $\delta\mathcal{L}$ を表しています。このように、ある関数の変数を微小量だけ変化させたとき、それぞれの変数に対する関数の変化量の和で表される関係式を、その関数の『全微分』と呼びます。例えば、変数が $x, y, z$ のとき、関数 $f$ の全微分は次のように表されます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy+\frac{\partial f}{\partial z}dz \end{eqnarray} }$

全微分：ある関数 $f$ の各変数（ $x, y, z$ など）を微小量（ $dx, dy, dz$ など）だけ変化させたとき、それぞれの変数に対する関数の変化量の和で表される関係式

「ここで、 $\frac{\partial f}{\partial x}dx$ は、変数 $x$ を微小量 $dx$ だけ変化させたときの $f$ の微小な変化量を表し、その他の変数 $y, z$ についても同様です。全微分の関係は、場の量子論の変分の計算によく出てくるので、その物理的な意味をよく覚えておいてください」