チェインルールとは - スーパーサイエンスガール

「次に、ラグランジアン $\mathcal{L}$ の微小な変化 $\Delta L$ を求めてみます。ラグランジアン $\mathcal{L}$ は次のように、場 $\phi$ の項と場の微分 $\partial_\mu\phi$ の項の２つからなることは、以前もお話しました」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \mathcal{L}=\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi)^2-\frac{1}{2}m^2\phi^2 \end{eqnarray} }$

「そのため、ラグランジアンの微小変化 $\alpha\Delta\mathcal{L}$ は、次のように書くことができます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \alpha\Delta\mathcal{L}&=&\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}(\alpha\Delta\phi)+\bigg(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\bigg)\partial_\mu(\alpha\Delta\phi) \end{eqnarray} }$

「なんでそんな風にかけるのよ？」
　一宮が訊ねる。
「この式は、物理的には下のような構造をもちます」

（ $\mathcal{L}$ の微小変化）=
（ $\phi$ の変化に対する $\mathcal{L}$ の変化の割合）×（ $\phi$ の微小変化）+（ $\partial_{\mu}\phi$ の変化に対する $\mathcal{L}$ の変化の割合）×（ $\partial_{\mu}\phi$ の微小変化）

「上式の右辺の第１項は、場 $\phi$ の項の微小変化 $\alpha\Delta \phi$ を通じた $\mathcal{L}$ の微小変化を表し、第２項は、場の微分 $\partial_\mu\phi$ の項の微小変化 $\partial_\mu(\alpha\Delta\phi)$ を通じた $\mathcal{L}$ の微小変化を表します。これは、ラグランジアン $\mathcal{L}$ が、場 $\phi$ の項と場の微分 $\partial_\mu\phi$ の項の２つの項からなるためです」

ラグランジアン $\mathcal{L}$ は、場 $\phi$ の項と場の微分 $\partial_\mu\phi$ の項の２つの項からなる
　↓
$\mathcal{L}$ の微小変化には、以下の２種類の微小変化が考えられる
(1) 場 $\phi$ の項の微小変化 $\alpha\Delta \phi$ を通じた $\mathcal{L}$ の微小変化
(2) 場の微分 $\partial_\mu\phi$ の項の微小変化 $\partial_\mu(\alpha\Delta\phi)$ を通じた $\mathcal{L}$ の微小変化

「また、 $\frac{\partial Y}{\partial X}$ は、 $X$ の変化に対する $Y$ の変化の割合を表すことを覚えておくと、式のイメージが掴みやすいので便利です」

$\frac{\partial Y}{\partial X}$ ： $X$ の変化に対する $Y$ の変化の割合

「この関係を用いて、変数 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ の微小変化を通じた $Y$ の微小変化は、次のように書くことができます」

$dY=\frac{\partial Y}{\partial X_1}dX_1+\frac{\partial Y}{\partial X_2}dX_2+\cdots+\frac{\partial Y}{\partial X_n}dX_n$

「このような偏微分の関係は、あたかも変数 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ が鎖のようにつながっているので、『連鎖律』（chain rule、チェインルール）とも呼ばれますが、チェインルールは、機械的に覚えるのではなく、このように物理的な意味を考えながら式を導くと、物理的な理解が深まります」