運動項のみのラグランジアンから生じる保存則
ネーターの定理(Noether's theorem)
系に連続的な対称性が存在するとき、それに対応する保存則が存在する
「ネーターの定理によって生じる保存則の一番簡単な例は、ラグランジアンが運動項
のみを有する場合です」
「運動項って……なんだったかしら?」
一宮が首を傾げた。
「ラグランジアンは(運動エネルギー)−(位置エネルギー)の形で表しますが、これは形式的に考えると、(微分の2次を含む項)−(微分を含まない逆符号の項)と考えることもできます。前者を『運動項』、後者を『ポテンシャル項』と呼びます」
「そうそう! 思い出したわ!」
一宮が手を打った。
「それゆえ、ラグランジアンが運動項のみの場合は、ポテンシャルがない空間中を粒子等が運動する場合に相当します」
ラグランジアンが運動項のみの場合:
ポテンシャルがない空間中を粒子等が運動する場合に相当
「ここで、を任意の定数として、変換
によって
が不変となる条件を考えてみます。この条件は、前回お話した(2.9)式および(2.10)式において、
とした場合に相当します」
![]()
(2.9)
![]()
(2.10)
「そこで、前回求めた(2.12)式において、を代入します」
![]()
(2.12)
「すると、(2.12)式は、次のようになります」
「結局、カレントが保存されるという結論が得られます。これは、場
の時空間の変動が保存されることを意味します」
運動項
のみを有するラグランジアン
が、変換
によって不変となる場合
↓
場の時空間の変動が保存される
「ちょっと待ってよ! どうして、が下付きの
を
で微分したら、
が上付きの
が出てくるのよ?」
「テキストでは、のように、2乗の項がいずれも下付きの
で書かれていますが、実際には、ラグランジアン
は、ローレンツ不変な実スカラー場であるため、次のように上付きと下付きの
の積の形で表されます」
「そのため、下付きので微分すると、上付きの
が残るのではないかと思います」
「だったら、上付きと下付きの添字の積の形で書いたらいいでしょ! 初学者が混乱するじゃない!」
一宮が憤慨したようにいった。
いちいち注文がうるさいな、おまえは……。
「ちなみに、上付きの添字を有するベクトルを『反変ベクトル(contravariant vector)、下付きの添字
を有するベクトルを『共変ベクトル(covariant vector)と呼んで区別します』
反変ベクトル(contravariant vector):上付きの添字
を有するベクトル
共変ベクトル(covariant vector):下付きの添字を有するベクトル
「反変ベクトルと共変ベクトルの違いについては、いずれまた詳しくとりあげるつもりです。ここではとりあえず、上付きの添字をもったベクトルと、下付きの添字
をもったベクトルの区別があることを覚えておいてください」