運動項のみのラグランジアンから生じる保存則

ネーターの定理（Noether's theorem）
系に連続的な対称性が存在するとき、それに対応する保存則が存在する

「ネーターの定理によって生じる保存則の一番簡単な例は、ラグランジアン $\mathcal{L}$ が運動項 $\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi)^2$ のみを有する場合です」
「運動項って……なんだったかしら？」
　一宮が首を傾げた。

「ラグランジアン $\mathcal{L}$ は（運動エネルギー）−（位置エネルギー）の形で表しますが、これは形式的に考えると、（微分の２次を含む項）−（微分を含まない逆符号の項）と考えることもできます。前者を『運動項』、後者を『ポテンシャル項』と呼びます」

ラグランジアン $\mathcal{L}$ の構造
運動項（微分の２次を含む項）−ポテンシャル項（微分を含まない逆符号の項）
${ \displaystyle \begin{eqnarray} \mathcal{L}&=&\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi)^2-\frac{1}{2}m^2\phi^2. \end{eqnarray} }$

「そうそう！　思い出したわ！」
　一宮が手を打った。
「それゆえ、ラグランジアンが運動項のみの場合は、ポテンシャルがない空間中を粒子等が運動する場合に相当します」

ラグランジアンが運動項のみの場合：
ポテンシャルがない空間中を粒子等が運動する場合に相当

「ここで、 $\alpha$ を任意の定数として、変換 $\varphi\rightarrow\varphi+\alpha$ によって $\mathcal{L}$ が不変となる条件を考えてみます。この条件は、前回お話した(2.9)式および(2.10)式において、 $\delta\phi(x)=1, \partial_\mu\mathcal{J}^\mu(x)=0$ とした場合に相当します」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \phi(x)\rightarrow\phi^\prime(x)=\phi(x)+\alpha\delta\phi(x) \end{eqnarray} }$
(2.9)

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \mathcal{L}(x)\rightarrow\mathcal{L}(x)+\alpha\partial_\mu\mathcal{J}^\mu(x) \end{eqnarray} }$
(2.10)

「そこで、前回求めた(2.12)式において、 $\delta\phi(x)=1, \partial_\mu\mathcal{J}^\mu(x)=0, \mathcal{L}=\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi)^2$ を代入します」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \partial_\mu j^\mu(x)=0, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \mathrm{for}\,\,\,\,\,\, j^\mu(x)=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\Delta\phi-\mathcal{J}^\mu \end{eqnarray} }$
(2.12)

「すると、(2.12)式は、次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} j^\mu(x)=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\Delta\phi-\mathcal{J}^\mu=\partial^\mu\phi \end{eqnarray} }$

「結局、カレント $j^\mu=\partial^\mu\varphi$ が保存されるという結論が得られます。これは、場 $\varphi$ の時空間の変動が保存されることを意味します」

運動項 $\mathcal{L}=\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi)^2$ のみを有するラグランジアン $\mathcal{L}$ が、変換 $\varphi\rightarrow\varphi+\alpha$ によって不変となる場合
　↓
場 $\varphi$ の時空間の変動が保存される

「ちょっと待ってよ！　どうして、 $\mu$ が下付きの $\mathcal{L}=\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi)^2$ を $\partial_\mu\phi$ で微分したら、 $\mu$ が上付きの $\partial^\mu$ が出てくるのよ？」
「テキストでは、 $\mathcal{L}=\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi)^2$ のように、２乗の項がいずれも下付きの $\mu$ で書かれていますが、実際には、ラグランジアン $\mathcal{L}$ は、ローレンツ不変な実スカラー場であるため、次のように上付きと下付きの $\mu$ の積の形で表されます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \mathcal{L}=\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi)^2\rightarrow\mathcal{L}=\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi)(\partial^\mu\phi) \end{eqnarray} }$

「そのため、下付きの $\partial_\mu\phi$ で微分すると、上付きの $\partial^\mu\phi$ が残るのではないかと思います」
「だったら、上付きと下付きの添字 $\mu$ の積の形で書いたらいいでしょ！　初学者が混乱するじゃない！」
　一宮が憤慨したようにいった。
　いちいち注文がうるさいな、おまえは……。