エネルギー・運動量テンソルの導出 - スーパーサイエンスガール

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \mathcal{L}&\rightarrow&\mathcal{L}+\alpha^\mu\partial_\mu\mathcal{L}=\mathcal{L}+a^\nu\partial_\mu(\delta^\mu_\nu\mathcal{L}). \end{eqnarray} }$

「ここで、ラグランジアン $\mathcal{L}$ の無限小の平行移動の式と、以前求めたラグランジアン $\mathcal{L}$ の変換式(2.10)とを比較してみます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \mathcal{L}(x)\rightarrow\mathcal{L}(x)+\alpha\partial_\mu\mathcal{J}^\mu(x) \end{eqnarray} }$
(2.10)

「このとき、 $\mathcal{J}^\mu=\mathcal{L}\delta^\mu_\nu$ となって、 $\mathcal{J}^\mu$ がゼロでないことが分かります。ここで、場 $\phi$ の無限小の平行移動の式を(2.9)式と比較します」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \phi(x)\rightarrow \phi(x+\alpha)=\phi(x)+a^\mu\partial_\mu\phi(x). \end{eqnarray} }$

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \phi(x)\rightarrow\phi^\prime(x)=\phi(x)+\alpha\Delta\phi(x) \end{eqnarray} }$
(2.9)

「これから、 $\Delta\phi=\partial_\mu\phi$ であることがわかります。そこで、ネーターカレントの保存を示す(2.12)式に、上で求めた $\mathcal{J}^\mu=\mathcal{L}\delta^\mu_\nu, \Delta\phi=\partial_\mu\phi$ を代入します」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \partial_\mu j^\mu(x)=0, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \mathrm{for}\,\,\,\,\,\, j^\mu(x)=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\Delta\phi-\mathcal{J}^\mu. \end{eqnarray} }$
(2.12)

「その結果、 $\mu=0, 1, 2, 3$ として、４つの保存カレントが得られます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} j^\mu(x)&=&\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\Delta\phi-\mathcal{J}^\mu\\ &=&\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\partial_\mu\phi-\mathcal{L}\delta^\mu_\nu. \end{eqnarray} }$

「この保存カレントを $T^\mu_\nu$ とすると、結局次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} T^\mu_\nu&\equiv&\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\partial_\mu\phi-\mathcal{L}\delta^\mu_\nu. \end{eqnarray} }$
(2.17)