エネルギー・運動量テンソルからクライン−ゴルドン場のハミルトニアンの導出

「エネルギー・運動量テンソルのうち、時間変換に関係した保存チャージ $T^{00}$ は、ハミルトニアン $\mathcal{H}$ となります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} H=\int T^{00}d^3x=\int \mathcal{H}d^3 x. \end{eqnarray} }$
(2.18)

「また、エネルギー・運動量テンソル $T^\mu_{\,\,\nu}$ は、(2.17)式のように書けます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} T^\mu_{\,\,\nu}&\equiv&\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\partial_\nu\phi-\mathcal{L}\delta^\mu_{\,\,\nu}. \end{eqnarray} }$
(2.17)

「(2.17)式に $\mu=\nu=0$ を代入すると、(2.18)式が次のようになることは、以前お話しました」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} H&=&\int d^3x[\pi({\bf{x}})\dot{\phi({\bf{x}})}-\mathcal{L}]\equiv\int \mathcal{H}d^3x.\\ &=&\int d^3x\bigg[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\phi}(\bf{x})}\dot{\phi({\bf{x}})}-\mathcal{L}\bigg] \end{eqnarray} }$

「ここで、クライン−ゴルドン場 $\varphi(x)$ について、上のハミルトニアン ${H}$ を実際に計算してみます。クライン−ゴルドン場 $\varphi(x)$ のラグランジアン $\mathcal{L}$ は、(2.6)式のように表されることは以前示しました」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \mathcal{L}&=&\frac{1}{2}\dot{\phi}^2-\frac{1}{2}(\nabla \phi)^2-\frac{1}{2}m^2\phi^2\\ &=&\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi)^2-\frac{1}{2}m^2\phi^2. \end{eqnarray} }$
(2.6)

「(2.6)式のラグランジアン $\mathcal{L}$ を上のハミルトニアン ${H}$ の式に代入してみます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} H&=&\int d^3x\bigg[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\phi}(\bf{x})}\dot{\phi({\bf{x}})}-\mathcal{L}\bigg]\\ &=&\int d^3x\bigg[\dot{\phi}^2-\bigg(\frac{1}{2}\dot{\phi}^2-\frac{1}{2}(\nabla \phi)^2-\frac{1}{2}m^2\phi^2\bigg)\bigg]\\ &=&\int d^3x\bigg[\frac{1}{2}\dot{\phi}^2+\frac{1}{2}(\nabla \phi)^2+\frac{1}{2}m^2\phi^2\bigg] \end{eqnarray} }$

「ここで、運動量密度 $\pi(x)=\dot{\phi}(x)$ の関係式を使うと、結局クライン−ゴルドン場 $\varphi(x)$ は次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} H&=&\int d^3x\bigg[\frac{1}{2}\pi^2+\frac{1}{2}(\nabla\phi)^2+\frac{1}{2}m^2\phi^2\bigg]. \end{eqnarray} }$

「このように、エネルギー・運動量テンソル $T^0_{\,\,0}$ からも、以前求めた(2.8)式のハミルトニアン $\mathcal{H}$ を完全に再現することができます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} H&=&\int d^3x\mathcal{H}=\int d^3x\bigg[\frac{1}{2}\pi^2+\frac{1}{2}(\nabla\phi)^2+\frac{1}{2}m^2\phi^2\bigg]. \end{eqnarray} }$
(2.8)