第２量子化とは - スーパーサイエンスガール

「実クライン−ゴルドン場の古典論については、前節で簡単に（テキストによれば、あれで十分だそうですが）説明しました。関連する式は、(2.6), (2.7)および(2.8)です」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \mathcal{L}&=&\frac{1}{2}\dot{\phi}^2-\frac{1}{2}(\nabla \phi)^2-\frac{1}{2}m^2\phi^2\\ &=&\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi)^2-\frac{1}{2}m^2\phi^2. \end{eqnarray} }$
(2.6)

クライン−ゴルドン方程式
${ \displaystyle \begin{eqnarray} \bigg(\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^2+m^2\bigg)\phi=0 \,\,\,\,\,\,\,\,\, \textrm{or} \,\,\, \,\,\,\,\,\, (\partial^\mu\partial_\mu+m^2)\phi=0 \end{eqnarray} }$
(2.7)

${ \displaystyle \begin{eqnarray} H&=&\int d^3x\mathcal{H}=\int d^3x\bigg[\frac{1}{2}\pi^2+\frac{1}{2}(\nabla\phi)^2+\frac{1}{2}m^2\phi^2\bigg]. \end{eqnarray} }$
(2.8)

「ここで、古典的なクライン−ゴルドン方程式を量子化するため、場 $\varphi$ と運動量密度 $\pi$ を演算子として取り扱い、適切な交換関係を課します。１以上の粒子の離散的な系では、交換関係は次のようになることを思い出してください」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} [q_i, p_j]&=&i\delta_{ij}\\ [q_i, q_j]=[&p_i,& p_j]=0. \end{eqnarray} }$

「このような手続きを『第２量子化』と呼び、（ $\varphi$ を演算子とする）クライン−ゴルドン方程式を（ $\varphi$ を古典場とする）クライン−ゴルドン方程式と区別します」
「第２量子化？　さっきの量子化とどう違うのよ？」

「１粒子系のSchrodinger方程式は、巨視的（マクロ）な物理量を演算子に置き換えることにより、すでに量子化を行った式であることは、前回お話しました」

１粒子系のSchrodinger方程式
${ \displaystyle \begin{eqnarray} i\hbar\frac{\partial\phi({\bf{r}}, t)}{\partial t}&=&\bigg(-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta+U({\bf{r}})\bigg)\phi({\bf{r}},t) \end{eqnarray} }$

「でも、Schrodinger方程式を導くに当たって、演算子に置き換えたのは、エネルギーや運動量のような物理量であって、波動関数 $\phi({\bf{r}},t)$ そのものは、まだ演算子に置き換えていません。そこで、波動関数 $\phi({\bf{r}},t)$ も、演算子 $\hat{\phi}({\bf{r}},t)$ に置き換えてみることを考えてみます。このように、波動関数 $\phi({\bf{r}},t)$ を演算子 $\hat{\phi}({\bf{r}},t)$ に置き換えることを、『第２量子化（second quantization）』と呼び、その結果、Schrodinger方程式はHeisenbergの運動方程式になります」

１粒子系のHeisenbergの運動方程式
${ \displaystyle \begin{eqnarray} i\hbar\frac{\partial\hat{\phi}({\bf{r}}, t)}{\partial t}&=&\bigg(-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta+U({\bf{r}})\bigg)\hat{\phi}({\bf{r}},t) \end{eqnarray} }$

「ちょっと待って。上の２つの式って、どう違うのよ？　 $\phi$ に $\hat{}$ （ハット。帽子のような記号なので『ハット』と呼ぶ）が付いているかどうかの違いだけじゃない？」
　一宮が腑に落ちない様子で疑問を口にすると、越野さんは頭を大きく振った。

「一見、単なる記号の違いのように思えますが、物理的には大きな違いがあります。波動関数 $\phi({\bf{r}},t)$ は、空間内を伝播する『波動』を表しますが、演算子 $\hat{\phi}({\bf{r}},t)$ は、空間内に生成・消滅する『場の量子』を表しているのです」
「場の量子？」
「量子場の理論では、粒子や波動は、空間とは無関係に存在するのではなく、空間を一様に満たす場の一部が励起（振動）したものと考えます」

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「上のゲームの例でいえば、機体やエネルギー弾が画面内を自由に飛んでいるように見えますが、実際には、画面を構成する１つ１つの画素に連続的に色情報が与えられることによって、機体やエネルギー弾が画面内を飛んでいるように見えるのです。古典的な場 $\phi({\bf{r}}, t)$ が従うSchrodingar方程式は、前者のイメージに対応し、古典的な場 $\phi({\bf{r}}, t)$ が量子化したHeisenbergの運動方程式が、後者のイメージに対応するのです」

古典的な場 $\phi({\bf{r}}, t)$ ：空間とは独立に、空間内を粒子や波動が運動するイメージ
　↓ 第２量子化
 量子化された場 $\hat{\phi}({\bf{r}},t)$ ：空間を一様に満たす場の一部が励起（振動）して粒子や波動として認識されるイメージ

「ただし、ここで気をつけなくてはいけないのは、第２量子化は、巨視的な物理量や式を微視的な物理量や式に置き換えるという『量子化（Quantization）』の定義には該当しません。なぜなら、古典的な場 $\phi({\bf{r}}, t)$ を扱うSchrodinger方程式は微視的な物理量を完全に記述可能な方程式であるため、巨視的な量から微視的な量に置き換える『量子化』そのものは、Shorodinger方程式を導いた時点ですでに行われているからです」

量子化と第２量子化の違い
(1) Newtonの運動方程式（巨視的な運動方程式）
　 ↓ 量子化（巨視的→微視的に置き換える）
(2) Schrodingerの波動方程式（微視的な運動方程式。微視的な運動を完全に記述可能）
　 ↓ 第２量子化（微視的→微視的で変わらない。ゆえに厳密には『量子化』ではない）
(3) Heisenbergの運動方程式（古典的な場を量子化された場に置き換えたもの）

「だから『第２量子化』という言葉は、誤解に基づく言葉であり、厳密には不適切な言葉といえます。決して巨視的な量を微視的な量に２回変換しているわけではないので、この点を十分に注意してください」