自由度とは - スーパーサイエンスガール

「前回、正準交換関係は下のようになることを以前お話しました。ここでは、自然単位系を用いているので、プランク定数 $\hbar=1$ となっていることに注意してください」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} [q_i, p_j]&=&i\delta_{ij}\\ [q_i, q_j]=[&p_i,& p_j]=0. \end{eqnarray} }$

「この式では、クロネッカーのデルタ $\delta_{ij}$ が用いられていますが、これは $i, j$ が同一（ $i=j$ の場合）にのみ $\delta_{ij}=1$ となって、位置と運動量の不確定性関係（Heisenbergの不確定性関係）が成り立つことを意味しています（ $i\neq j$ の場合は、 $\delta_{ij}=0$ ）」
「 $i, j$ って何よ？」
　一宮がホワイトボードを指さした。
「 $i, j$ は自由度を表します」
「自由度？」
「自由度とは、力学系において、独立に変化しうる座標の数をいいます」

自由度とは、力学系において、独立に変化しうる座標の数

「例えば、 $i=1, 2, 3$ は、それぞれ１番目の粒子の $x, y, z$ 座標を表し、 $i=4, 5, 6$ は、それぞれ２番目の粒子の $x, y, z$ 座標を表す、といったように座標を割り振ることができます。また、考えている系が１次元系の場合は、 $i=1, 2, 3$ は、それぞれ1，2，3番目の粒子の $x$ 座標を表す、というように座標を割り振ります」

考えている系によって、自由度 $i, j$ は異なる
(1) $i=1, 2, 3$ →１番目の粒子の $x, y, z$ 座標、 $i=4, 5, 6$ →２番目の粒子の $x, y, z$ 座標
(2) １次元系の場合： $i=1, 2, 3$ →1，2，3番目の粒子の $x$ 座標など

「ここで、 $i, j$ が同一（ $i=j$ の場合）にのみ、 $\delta_{ij}=1$ となるということは、同一の粒子の同一座標（x座標など）についてのみ、位置と運動量の不確定性関係（Heisenbergの不確定性関係）が成り立ち、異なる粒子、あるいは、同一の粒子であっても異なる座標については、Heisenbergの不確定性関係は成り立たないということを意味しています」

同一の粒子の同一座標（x座標など）についてのみ、位置と運動量の不確定性関係（Heisenbergの不確定性関係）が成り立つ

「ところで、量子場の理論では、連続的な場 $\varphi(x)$ を考えるので、離散的なクロネッカーのデルタ $\delta_{ij}$ の代わりに、連続的なデルタ関数 $\delta^{(3)}({\bf{x}}-{\bf{y}})$ を用いて正準交換関係を書き換えます」

クロネッカーのデルタ $\delta_{ij}$ （離散的）
（ $i=j$ のとき、 $\delta_{ij}=1$ 、 $i\neq j$ のとき、 $\delta_{ij}=0$ ）
　↓
デルタ関数 $\delta^{(3)}({\bf{x}}-{\bf{y}})$ （連続的）
（ $\bf{x}=\bf{y}$ のとき、 $\delta^{(3)}({\bf{x}}-{\bf{y}})=1$ 、 $\bf{x}\neq\bf{y}$ のとき、 $\delta^{(3)}({\bf{x}}-{\bf{y}})=0$ ）

「ここで、 ${\bf{x}}, {\bf{y}}$ は、例えば、 ${\bf{x}}=(x_1, y_1, z_1), {\bf{y}}=(x_2, y_2, z_2)$ などの座標を表します。デルタ関数 $\delta^{(3)}({\bf{x}}-{\bf{y}})$ を用いると、連続的な正準交換関係は次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} [\phi({\bf{x}}), \pi({\bf{y}})]&=&i\delta^{(3)}({\bf{x}}-{\bf{y}});\\ [\phi({\bf{x}}), \phi({\bf{y}})]&=&[\pi({\bf{x}}), \pi({\bf{y}})]=0. \end{eqnarray} }$
(2.20)

「ここで、 $\pi$ は運動量密度であり、運動量 $p$ に相当する量です」