Schrodinger描像とは - スーパーサイエンスガール

${ \displaystyle \begin{eqnarray} [\phi({\bf{x}}), \pi({\bf{y}})]&=&i\delta^{(3)}({\bf{x}}-{\bf{y}});\\ [\phi({\bf{x}}), \phi({\bf{y}})]&=&[\pi({\bf{x}}), \pi({\bf{y}})]=0. \end{eqnarray} }$
(2.20)

「ここで、当面の間は、場 $\phi$ と運動量密度 $\pi$ が時間に依存するSchrodinger描像に従うものとします。次の節では、Heisenberg描像に切り替えたとき、両方の演算子が同時刻という条件で、これら『同時刻』交換関係が成り立ちます。また、場 $\phi$ と運動量密度 $\pi$ の関数であるハミルトニアンもまた演算子となります」
「Schorodinger描像とか、Heisenberg描像ってなによ？」
　一宮が疑問を口にした。

「Schorodinger描像とか、Heisenberg描像は、運動の記述法を表します」
「運動の記述法？」
「最初にSchorodinger描像ですが、これはSchorodinger方程式に由来します。Schorodinger方程式は、Diracの記法で表わすと、次のように書くことができます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\mid \varphi(t)\rangle&=&\hat{H}\mid\varphi(t)\rangle \end{eqnarray} }$

「ここで、巨視的（マクロ）な物理量 $O$ に対応する演算子を $\hat{O}_S$ とすると、時刻tにおけるその期待値 $\bar{O}(t)$ は、次のように書くことができます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \bar{O}(t)&=&_S\langle\varphi(t)\mid\hat{O}_S\mid\varphi(t)\rangle_S \end{eqnarray} }$

「ちょっと待って。どうして期待値が出てくるよ？」
　一宮が首を傾げた。
「波動関数 $\varphi(t)$ は確率的に分布しているので、確定した値を知ることはできません。だから、物理量を知るには、期待値を計算しかないのです。具体的には、上式のように波動関数を表す状態ベクトルで、巨視的（マクロ）な物理量を表す演算子を両側からはさんで平均値をとります。この場合、巨視的な物理量 $O$ に対応する演算子を $\hat{O}_S$ 自身は時間に依存せず、波動関数を表す状態ベクトル $\varphi(t)\rangle$ が時間とともに変化するため、結果として期待値 $\bar{O}(t)$ も時間ととも変化します。このように、物理量を表わす演算子を固定して、系の状態が時間とともに変化するという運動の記述法をSchrodinger描像（Schrodinger picture）と呼びます」