複素数が実数となるための必要十分条件 - スーパーサイエンスガール

「古典的なクライン−ゴルドン場は、次のようにフーリエ級数で表すことができることを前回お話しました」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \phi({\bf{x}},t)&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}e^{i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}\phi({\bf{p}}, t) \end{eqnarray} }$

「ここで、 $\varphi(x)$ が実数となるように、 $\varphi^*(p)=\varphi(-p)$ ととることにします」
「なんで $\varphi^*(p)=\varphi(-p)$ だと、 $\varphi(x)$ が実数となるのよ？」
　一宮が訊ねる。
「a, bを実数とすると、複素数zは、z=a+ibと表すことができます。このとき、zの複素共役は、 $z^*=a-ib$ となりますが、zが実数のときは、b=0なので、 $z^*=z$ の関係が成り立ち、その逆も成り立ちます」

zが実数であるための必要十分条件 $\Longleftrightarrow z^*=z$

「でも、 $\varphi^*(p)=\varphi(-p)$ は、あくまで $\varphi(p)$ が実数となるための条件であって、 $\varphi(x)$ が実数となるための条件じゃないでしょ？」
　一宮がなおも食い下がった。
「たしかに、一宮さんがおっしゃるように、 $\phi({\bf{x}},t)$ が実数であるための条件は、 $\phi^*({\bf{x}},t)=\phi({\bf{x}},t)$ です。だから、 $\varphi^*(p)=\varphi(-p)$ の関係が成り立っているとき、本当に $\phi^*({\bf{x}},t)=\phi({\bf{x}},t)$ の関係が成り立っているのか、確かめる必要があります。そこで、 $\phi^*({\bf{x}},t)$ を実際に計算してみます」
　そういって、越野さんはマーカーペンを手にとった。
「 $\phi^*({\bf{x}},t)$ は $\phi({\bf{x}},t)$ の複素共役なので、虚数 $i$ を $-i$ に置き換えるだけで得られます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \phi^*({\bf{x}},t)&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}e^{-i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}\phi^*({\bf{p}}, t) \end{eqnarray} }$

「ここで、 $\varphi^*(p)=\varphi(-p)$ の関係が成り立っているものとすれば、上式は次のように変形することができます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \phi^*({\bf{x}},t)&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}e^{-i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}\phi^*({\bf{p}}, t)\\ &=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}e^{-i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}\phi({\bf{-p}}, t) \end{eqnarray} }$

「また、 $-p=p’$ と積分変数を置き換えると、積分変数が $d^3p=-d^3p’$ となってマイナスが出てきますが、積分範囲も $\int_{\infty}^{-\infty}=-\int_{-\infty}^\infty$ となって同じようにマイナスが出て来るので、結局、これらのマイナスは相殺して、 $\int_{\infty}^{-\infty} d^3p =\int_{-\infty}^\infty d^3p’$ となります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \phi^*({\bf{x}},t)&=&\int\frac{d^3p'}{(2\pi)^3}e^{i{\bf{p’}}\cdot{\bf{x}}}\phi({\bf{p’}}, t)\\ &=&\phi({\bf{x}},t) \end{eqnarray} }$

「結局、 $\phi^*({\bf{x}},t)=\phi({\bf{x}},t)$ となります。以上から、 $\varphi^*(p)=\varphi(-p)$ が成り立つとき、 $\phi({\bf{x}},t)$ がたしかに実数となることが分かります」

$\varphi^*(p)=\varphi(-p)$ 　→　 $\phi({\bf{x}},t)$ は実数