昇降演算子とは - スーパーサイエンスガール

「単振動のハミルトニアン（エネルギーに相当）は、次のようになることが知られています」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} H_{\textrm{SHO}}&=&\frac{1}{2}p^2+\frac{1}{2}\omega^2\phi^2. \end{eqnarray} }$

「『SHO』って何よ？」
「『SHO』は、『Simple Harmonic Oscillator（調和振動子）』の略です。ここで、ハミルトニアン $H_{\textrm{SHO}}$ の固有値を見つけるため、場 $\varphi$ と運動量 $p$ を次のように昇降演算子（ladder operator）の観点で表します」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \phi=\frac{1}{\sqrt{2\omega}}(a+a^\dagger)\textrm{;}\,\,\,\,\,\,\,\, p=-i\sqrt{\frac{\omega}{2}}(a-a^\dagger). \end{eqnarray} }$
(2.23)

「昇降演算子？」
　一宮は首をかしげた。
「エレベーターを『昇降機』と呼ぶことは知っていますよね？」
「それくらい知ってるわよ」

「『昇降演算子（ladder）』とは、ちょうどエレベーターが上下に行ったり来たりするように、物理的な状態に作用して、その固有値の数を増やしたり、減らしたりする演算子です」
「固有値？」
「巨視的（マクロ）な物理量に対応した演算子 $\hat{A}$ をある状態 $\psi$ に作用させて得られた値が一意的に定まるとき、その値 $a$ をその演算子 $\hat{A}$ の固有値（eigenvalue）と呼びます。また、そのときの状態 $\psi$ を演算子 $\hat{A}$ の固有関数（eigenfunction）（ベクトルの場合は、固有ベクトル）と呼びます」

固有値（eigenvalue）と固有関数（eigenfunction）：
巨視的（マクロ）な物理量に対応した演算子 $\hat{A}$ をある状態 $\psi$ に作用させて得られた値が一意的に定まるとき、その値 $a$ をその演算子 $\hat{A}$ の固有値と呼び、また、そのときの状態 $\psi$ を演算子 $\hat{A}$ の固有関数（ベクトルの場合は、固有ベクトル）と呼ぶ。

「また、固有値と固有関数の関係は、次のように式で書くことができます」