零点エネルギーとは - スーパーサイエンスガール

「正準交換関係 $[\varphi, p]$ は、(2.20)の関係から $i$ となることがわかります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} [\phi({\bf{x}}), \pi({\bf{y}})]&=&i\delta^{(3)}({\bf{x}}-{\bf{y}});\\ [\phi({\bf{x}}), \phi({\bf{y}})]&=&[\pi({\bf{x}}), \pi({\bf{y}})]=0. \end{eqnarray} }$
(2.20)

「一方、 $[A, B]=AB-BA$ の関係を使って、正準交換関係 $[\varphi, p]$ を計算してみます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} [\phi, p]&=&\phi p-p\phi\\ &=&-\frac{i}{2}[(a+a^\dagger)(a-a^\dagger)-(a-a^\dagger)(a+a^\dagger)]\\ &=&-\frac{i}{2}[(aa-aa^\dagger+a^\dagger a- a^\dagger a^\dagger)-(aa+aa^\dagger-a^\dagger a-a^\dagger a^\dagger)]\\ &=&-\frac{i}{2}[2(a^\dagger a-aa^\dagger)]\\ &=&i[aa^\dagger-a^\dagger a]\\ &=&i \end{eqnarray} }$

「これから、 $aa^\dagger-a^\dagger a=1$ となって、次の(2.24)式の関係が得られます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} [a, a^\dagger]=1. \end{eqnarray} }$
(2.24)

「次に、式(2.23)を代入してハミルトニアン $H_\textrm{SHO}$ を計算してみます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \phi=\frac{1}{\sqrt{2\omega}}(a+a^\dagger)\textrm{;}\,\,\,\,\,\,\,\, p=-i\sqrt{\frac{\omega}{2}}(a-a^\dagger). \end{eqnarray} }$
(2.23)

${ \displaystyle \begin{eqnarray} H_\textrm{SHO}&=&\frac{1}{2}p^2+\frac{1}{2}\omega^2\phi^2\\ &=&\frac{1}{2}(-i)^2\frac{\omega}{2}(a-a^\dagger)^2+\frac{1}{2}\omega^2\frac{1}{2\omega}(a+a^\dagger)^2\\ &=&-\frac{\omega}{4}(a-a^\dagger)^2+\frac{\omega}{4}(a+a^\dagger)^2\\ &=&\frac{\omega}{4}\{(a+a^\dagger)^2-(a-a^\dagger)^2\}\\ &=&\frac{\omega}{4}2(aa^\dagger+a^\dagger a)\\ &=&\frac{\omega}{2}(1+a^\dagger a+a^\dagger a)\\ &=&\frac{\omega}{2}(2a^\dagger a+1)\\ &=&\omega \bigg(a^\dagger a+\frac{1}{2}\bigg) \end{eqnarray} }$

「ここで、真空状態 $\mid 0\rangle$ にハミルトニアン $H_\mathrm{SHO}$ を左側から作用させると、次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} H_\textrm{SHO}\mid 0\rangle &=&\omega \bigg(a^\dagger a+\frac{1}{2}\bigg)\mid 0\rangle\\ &=&\omega a^\dagger a\mid 0\rangle+\frac{1}{2}\omega \mid 0\rangle \end{eqnarray} }$

「ところで、真空状態 $\mid 0\rangle$ は、消滅すべき粒子が存在しない状態であるため、真空状態に消滅演算子 $a$ を作用させても、その確率振幅は0になります。それゆえ、 $a\mid 0\rangle=0$ となるため、上の式は次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} H_\textrm{SHO}\mid 0\rangle &=&\omega a^\dagger a\mid 0\rangle+\frac{\omega}{2}\mid 0\rangle\\ &=&\frac{1 }{2}\omega \mid 0\rangle \end{eqnarray} }$

「結局、真空状態 $\mid 0\rangle$ の固有値は、 $\frac{1}{2}\omega$ となります。この真空状態のエネルギーは、『零点エネルギー（zero-point energy）』と呼ばれます」

零点エネルギー（zero-point energy）：真空状態のエネルギー

「つまり、真空状態にも、エネルギーが存在するってわけ？」
　一宮が訊ねた。
「そうですね。どんなに空虚で空っぽの空間にも、エネルギーが存在することになります」
「空虚で空っぽの空間なのに、どうしてエネルギーが存在するのよ？」
　一宮は腑に落ちないような顔をした。

「量子力学では、位置と運動量との間の不確定性原理によって、粒子を一点に静止した状態を実現することができません。それゆえ、粒子は常に振動した状態になります。このような不確定性原理に起因する振動を零点振動（zero-point oscillation）と呼びます」

零点振動（zero-point oscillation）
位置と運動量との間の不確定性原理
　↓
粒子を一点に静止した状態を実現することができず、粒子は常に振動した状態となる

「また、粒子の本質が波動であることを考えれば、零点エネルギーは、波動そのものが有するエネルギーと考えることもできます」

零点エネルギーは、波動性に由来する

「ちなみに、固体の零点エネルギーの合計は、絶対零度における内部エネルギーであることから、これが『零点エネルギー』という言葉の由来となったそうです」