生成・消滅演算子をクライン−ゴルドン場とその運動量密度で表現した式の導出

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \mathcal{H}&=&\int d^3 x\int\frac{d^3p d^3p'}{(2\pi)^6}e^{i{({\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}\bigg\{-\frac{\sqrt{\omega_{\bf{p}}\omega_{\bf{p}'}}}{4} \big(a_{\bf{p}}-a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)\big(a_{\bf{p}'}-a_{-\bf{p}'}^{\dagger}\big)\\ &+&\frac{-{\bf{p}}\cdot{\bf{p}}'+m^2}{4\sqrt{\omega_{\bf{p}}\omega_{\bf{p}'}}} \big(a_{\bf{p}}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)\big(a_{\bf{p}'}+a_{-\bf{p}'}^{\dagger}\big)\bigg\}\\ &=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\omega_{\bf{p}}\bigg(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{p}}+\frac{1}{2}[a_{\bf{p}}, a_{\bf{p}}^\dagger]\bigg). \end{eqnarray} }$
(2.31)

「クライン−ゴルドン場のハミルトニアン $\mathcal{H}$ の簡潔な式を導くのに、 $\int d^{(3)}p a_{\bf{p}}a_{-\bf{p}}=\int d^{(3)}pa_{\bf{p}}a_{\bf{p}}, \int d^{(3)}pa_{-\bf{p}}^\dagger a_{\bf{p}}^\dagger=\int d^{(3)}pa_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{p}}^\dagger$ などの関係が成り立つものと仮定しました」

「ちょっと。どうしてそんな関係が成り立つのよ？　納得いかないわね」
　一宮の問いかけに、越野さんはしばしの間、考え込んだ。
「それでは、上のような関係が本当に成り立つかどうか計算で確めてみましょう。以前、 $\phi({\bf{x}})$ と $\pi({\bf{x}})$ を生成演算子 $a_{\bf{p}}^\dagger$ と消滅演算子 $a_{\bf{p}}$ で表現できることをお話しましたよね」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \phi({\bf{x}})&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\bf{p}}}}\big(a_{\bf{p}}e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}+a_{\bf{p}}^{\dagger}e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}\big); \end{eqnarray} }$
(2.25)

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \pi({\bf{x}})&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}(-i)\sqrt{\frac{\omega_{\bf{p}}}{2}}\big(a_{\bf{p}}e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}-a_{\bf{p}}^{\dagger}e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}\big). \end{eqnarray} }$
(2.26)

「これらの式から、生成演算子 $a_{\bf{p}}^\dagger$ と消滅演算子 $a_{\bf{p}}$ を $\phi({\bf{x}})$ と $\pi({\bf{x}})$ で表現した式を導いてみます。そこで、(2.25)式と(2.26)式の両辺にそれぞれ、 $\sqrt{2\omega_{\bf{p}}}$ および $i\sqrt{\frac{2}{\omega_{\bf{p}}}}$ をかけて、次のように変形します」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \sqrt{2\omega_{\bf{p}}}\phi({\bf{x}})&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\big(a_{\bf{p}}e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}+a_{\bf{p}}^{\dagger}e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}\big); \end{eqnarray} }$
(2.25)'

${ \displaystyle \begin{eqnarray} i\sqrt{\frac{2}{\omega_{\bf{p}}}}\pi({\bf{x}})&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\big(a_{\bf{p}}e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}-a_{\bf{p}}^{\dagger}e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}\big). \end{eqnarray} }$
(2.26)'

「次に、(2.25)'式および(2.26)'式の辺々を足し合わせると、次の式が得られます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \sqrt{2\omega_{\bf{p}}}\phi({\bf{x}})+i\sqrt{\frac{2}{\omega_{\bf{p}}}}\pi({\bf{x}})&=&2\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}a_{\bf{p}}e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}\\ \sqrt{\frac{\omega_{\bf{p}}}{2}}\phi({\bf{x}})+i\sqrt{\frac{1}{2\omega_{\bf{p}}}}\pi({\bf{x}})&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}a_{\bf{p}}e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}. \end{eqnarray} }$

「上の式の両辺に、 $e^{-i{\bf{p}'\cdot\bf{x}}}$ をかけて、 $x$ で積分すると、次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \int d^{(3)}x\bigg(\sqrt{\frac{\omega_{\bf{p}'}}{2}}\phi({\bf{x}})+i\sqrt{\frac{1}{2\omega_{\bf{p}'}}}\pi({\bf{x}})\bigg)e^{-i{\bf{p}'\cdot\bf{x}}} &=&\int d^{(3)}x \int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}a_{\bf{p}}e^{i{(\bf{p}-\bf{p}')\cdot\bf{x}}}\\ &=& \int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}a_{\bf{p}}\int d^{(3)}xe^{i{(\bf{p}-\bf{p}')\cdot\bf{x}}}. \end{eqnarray} }$

「ここで、右辺の積分を計算するため、下のような指数関数 $e^{i(\bf{p}-\bf{p}')\cdot x}$ の積分とデルタ関数 $\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{p}'})$ との関係を用いると、上式の右辺の値は、 $a_{\bf{p}'}$ に等しくなることが分かります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \int d^{(3)}x e^{i{(\bf{p}-\bf{p}')\cdot\bf{x}}}=(2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{p}'}) \end{eqnarray} }$

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \int d^{(3)}x\bigg(\sqrt{\frac{\omega_{\bf{p}'}}{2}}\phi({\bf{x}})+i\sqrt{\frac{1}{2\omega_{\bf{p}'}}}\pi({\bf{x}})\bigg)e^{-i{\bf{p}'\cdot\bf{x}}} &=& \int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}a_{\bf{p}}\int d^{(3)}xe^{i{(\bf{p}-\bf{p}')\cdot\bf{x}}}\\ &=& \int{d^3p}a_{\bf{p}}\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{p}'})\\ &=&a_{\bf{p}'} \end{eqnarray} }$

「したがって、次の式が成り立ちます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} a_{\bf{p}'}&=&\int d^{(3)}x\bigg(\sqrt{\frac{\omega_{\bf{p}'}}{2}}\phi({\bf{x}})+i\sqrt{\frac{1}{2\omega_{\bf{p}'}}}\pi({\bf{x}})\bigg)e^{-i{\bf{p}'\cdot\bf{x}}}. \end{eqnarray} }$

「ここで、 $\bf{p}'=\bf{p}$ 置くと、次の式が得られます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} a_{\bf{p}}&=&\int d^{(3)}x\bigg(\sqrt{\frac{\omega_{\bf{p}}}{2}}\phi({\bf{x}})+i\sqrt{\frac{1}{2\omega_{\bf{p}}}}\pi({\bf{x}})\bigg)e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}} \end{eqnarray} }$

「ただし、前回説明した $\omega_{\bf{p}}=\omega_{-\bf{p}}$ の関係を用いました。また、上式のエルミート共役をとれば、生成演算子 $a_{\bf{p}}^\dagger$ の関係も求められます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} a_{\bf{p}}^\dagger&=&\int d^{(3)}x\bigg(\sqrt{\frac{\omega_{\bf{p}}}{2}}\phi({\bf{x}})-i\sqrt{\frac{1}{2\omega_{\bf{p}}}}\pi({\bf{x}})\bigg)e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}. \end{eqnarray} }$

「これらは、生成演算子 $a_{\bf{p}}^\dagger$ と消滅演算子 $a_{\bf{p}}$ を $\phi({\bf{x}})$ と $\pi({\bf{x}})$ で表現した式です」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} a_{\bf{p}}^\dagger&=&\int d^{(3)}x\bigg(\sqrt{\frac{\omega_{\bf{p}}}{2}}\phi({\bf{x}})-i\sqrt{\frac{1}{2\omega_{\bf{p}}}}\pi({\bf{x}})\bigg)e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}\\ a_{\bf{p}}&=&\int d^{(3)}x\bigg(\sqrt{\frac{\omega_{\bf{p}}}{2}}\phi({\bf{x}})+i\sqrt{\frac{1}{2\omega_{\bf{p}}}}\pi({\bf{x}})\bigg)e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}. \end{eqnarray} }$