クライン−ゴルドン場のハミルトニアンの式変形1

「生成・消滅演算子 $a_{\bf{p}}^\dagger, a_{\bf{p}}$ の ${\bf{p}}$ にマイナスの符号がついたそもそもの経緯は、(2.25)式および(2.26)式を、(2.27)式および(2.28)式に置き換えたためだ」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \phi({\bf{x}})&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\bf{p}}}}\big(a_{\bf{p}}e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}+a_{\bf{p}}^{\dagger}e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}\big); \end{eqnarray} }$
(2.25)

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \pi({\bf{x}})&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}(-i)\sqrt{\frac{\omega_{\bf{p}}}{2}}\big(a_{\bf{p}}e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}-a_{\bf{p}}^{\dagger}e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}\big). \end{eqnarray} }$
(2.26)

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \phi({\bf{x}})&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\bf{p}}}}\big(a_{\bf{p}}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big) e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}; \end{eqnarray} }$
(2.27)

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \pi({\bf{x}})&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}(-i)\sqrt{\frac{\omega_{\bf{p}}}{2}}\big(a_{\bf{p}}-a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}. \end{eqnarray} }$
(2.28)

「だから、マイナスの符号をプラスの符号に戻すには、上の変換の逆変換をすればいい」
　武者さんはホワイトボードの前に立って、計算を始めた。

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \mathcal{H}&=&\int d^3 x\int\frac{d^3p d^3p'}{(2\pi)^6}e^{i{({\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}\bigg\{-\frac{\sqrt{\omega_{\bf{p}}\omega_{\bf{p}'}}}{4} \big(a_{\bf{p}}-a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)\big(a_{\bf{p}'}-a_{-\bf{p}'}^{\dagger}\big)\\ &+&\frac{-{\bf{p}}\cdot{\bf{p}}'+m^2}{4\sqrt{\omega_{\bf{p}}\omega_{\bf{p}'}}} \big(a_{\bf{p}}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)\big(a_{\bf{p}'}+a_{-\bf{p}'}^{\dagger}\big)\bigg\}\\ &=&\int d^3 x\int\frac{d^3p d^3p'}{(2\pi)^6}e^{i{({\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}\bigg\{-\frac{\sqrt{\omega_{\bf{p}}\omega_{\bf{p}'}}}{4} \big(a_{\bf{p}}a_{\bf{p}'}-a_{\bf{p}}a_{-\bf{p}'}^{\dagger}-a_{-\bf{p}}^{\dagger}a_{\bf{p}'}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}a_{-\bf{p}'}^{\dagger}\big)\\ &+&\frac{-{\bf{p}}\cdot{\bf{p}}'+m^2}{4\sqrt{\omega_{\bf{p}}\omega_{\bf{p}'}}} \big(a_{\bf{p}}a_{\bf{p}'}+a_{\bf{p}}a_{-\bf{p}'}^{\dagger}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}a_{\bf{p}'}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}a_{-\bf{p}'}^{\dagger}\big)\bigg\}. \end{eqnarray} }$

「上の式において、例えば、 $a_{\bf{p}}a_{-\bf{p}'}^{\dagger}$ の ${\bf{p}'}$ のマイナスの符号をプラスの符号に戻すとき、 $e^{i{({\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}$ の ${\bf{p}'}$ の符号も $e^{i{({\bf{p}}-{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}$ に変換される」

逆変換の例：
$a_{\bf{p}}a_{-\bf{p}'}^{\dagger}$ の ${\bf{p}'}$ のマイナスの符号をプラスの符号に戻して $a_{\bf{p}}a_{\bf{p}'}^{\dagger}$ にする
　↓
$e^{i{({\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}$ の ${\bf{p}'}$ の符号も $e^{i{({\bf{p}}-{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}$ に変換される

「そこで、このような符号の変換を簡単にするため、上式の各項に $e^{i{({\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}$ の係数がかかるように、式を展開する」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \mathcal{H} &=&\int d^3 x\int\frac{d^3p d^3p'}{(2\pi)^6}\\ &&\bigg\{-\frac{\sqrt{\omega_{\bf{p}}\omega_{\bf{p}'}}}{4} \big(a_{\bf{p}}a_{\bf{p}'}e^{i{({\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}-a_{\bf{p}}a_{-\bf{p}'}^{\dagger}e^{i{({\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}-a_{-\bf{p}}^{\dagger}a_{\bf{p}'}e^{i{({\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}a_{-\bf{p}'}^{\dagger}e^{i{({\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}\big)\\ &+&\frac{-{\bf{p}}\cdot{\bf{p}}'+m^2}{4\sqrt{\omega_{\bf{p}}\omega_{\bf{p}'}}} \big(a_{\bf{p}}a_{\bf{p}'}e^{i{({\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}+a_{\bf{p}}a_{-\bf{p}'}^{\dagger}e^{i{({\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}a_{\bf{p}'}e^{i{({\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}a_{-\bf{p}'}^{\dagger}e^{i{({\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}\big)\bigg\} \end{eqnarray} }$

「次に、上の規則に従って、各項の符号を逆変換すると、次のようになる」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \mathcal{H}&=&\int d^3 x\int\frac{d^3p d^3p'}{(2\pi)^6}\\ &&\bigg\{-\frac{\sqrt{\omega_{\bf{p}}\omega_{\bf{p}'}}}{4} \big(a_{\bf{p}}a_{\bf{p}'}e^{i{({\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}-a_{\bf{p}}a_{\bf{p}'}^{\dagger}e^{i{({\bf{p}}-{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}-a_{\bf{p}}^{\dagger}a_{\bf{p}'}e^{i{(-{\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}+a_{\bf{p}}^{\dagger}a_{\bf{p}'}^{\dagger}e^{-i{({\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}\big)\\ &+&\frac{-{\bf{p}}\cdot{\bf{p}}'+m^2}{4\sqrt{\omega_{\bf{p}}\omega_{\bf{p}'}}} \big(a_{\bf{p}}a_{\bf{p}'}e^{i{({\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}+a_{\bf{p}}a_{\bf{p}'}^{\dagger}e^{i{({\bf{p}}-{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}+a_{\bf{p}}^{\dagger}a_{\bf{p}'}e^{i{({-\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}+a_{\bf{p}}^{\dagger}a_{\bf{p}'}^{\dagger}e^{-i{({\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}\big)\bigg\}\\ \end{eqnarray} }$