無限大の零点エネルギーの海 - スーパーサイエンスガール

「ここで、クライン−ゴルドン場のハミルトニアンについて考察してみます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \mathcal{H}&=&\int d^3 x\int\frac{d^3p d^3p'}{(2\pi)^6}e^{i{({\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}\bigg\{-\frac{\sqrt{\omega_{\bf{p}}\omega_{\bf{p}'}}}{4} \big(a_{\bf{p}}-a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)\big(a_{\bf{p}'}-a_{-\bf{p}'}^{\dagger}\big)\\ &+&\frac{-{\bf{p}}\cdot{\bf{p}}'+m^2}{4\sqrt{\omega_{\bf{p}}\omega_{\bf{p}'}}} \big(a_{\bf{p}}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)\big(a_{\bf{p}'}+a_{-\bf{p}'}^{\dagger}\big)\bigg\}\\ &=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\omega_{\bf{p}}\bigg(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{p}}+\frac{1}{2}[a_{\bf{p}}, a_{\bf{p}}^\dagger]\bigg). \end{eqnarray} }$
(2.31)

「(2.31)式３行目の右辺第２項は、下の(2.29)式の関係からデルタ関数の原点における値 $\delta(0)$ に等しいことがわかります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} [a_{\bf{p}}, a_{\bf{p}'}^\dagger]&=&2\pi^3\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{p}'}). \end{eqnarray} }$
(2.29)

「ディラックによれば、デルタ関数は、 $x\neq0$ のとき $\delta(x)=0$ であり、かつ、 $\int_{-\infty}^\infty dx=1$ を満たす関数と定義されます。全体の面積が1であり、x=0でのみ0でない値を持つということは、原点におけるデルタ関数の値が $\delta(0)=\infty$ となるということを意味しています」

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「この原点での値 $\delta(0)=\infty$ とは、Heisenbergの不確定性原理を反映した量子的な数（q-数（quantum number））ではなく、古典的な単なる数（c-数（classical number））です。それゆえ、(2.31)式３行目の右辺第２項の値は、零点エネルギー $\omega_p/2$ を全ての運動量のモードについて単純な和をとったものとなります。これは、エネルギーの最低状態が無限であることを意味します」
　一宮がいかにも胡散臭そうな目で越野さんを見つめた。
「エネルギーの最低状態が無限？　それじゃ、この宇宙は無限のエネルギーに満ちていることになるじゃないの！」
「計算の上ではそうですが、幸いなことに、このような無限のエネルギーシフトは、実験的に検知することはできません。なぜなら、実験においては、ハミルトニアン $\mathcal{H}$ の基底状態からのエネルギーの差しか測定することができないからです」