スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

クライン−ゴルドン場の全運動量演算子の計算２

場の量子論

{ \displaystyle \begin{eqnarray} {\bf{P}}&=&-\int d^3x\pi({\bf{x}})\nabla\phi({\bf{x}})\\ &=&-\int d^3 x\int\frac{d^3p d^3p'}{(2\pi)^6}{\bf{p}}'e^{i{({\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}} \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\omega_{\bf{p}}}{\omega_{\bf{p}'}}} \big(a_{\bf{p}}-a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)\big(a_{\bf{p}'}+a_{-\bf{p}'}^{\dagger}\big)\\ \end{eqnarray} }

「ここで、全運動量演算子 {\bf{P}}の各項を、指数関数をかけた項に展開すると、次のようになります」

{ \displaystyle \begin{eqnarray} {\bf{P}}&=&-\int d^3x\pi({\bf{x}})\nabla\phi({\bf{x}})\\ &=&-\int d^3 x\int\frac{d^3p d^3p'}{(2\pi)^6}\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\omega_{\bf{p}}}{\omega_{\bf{p}'}}}\\ &\cdot&\big({\bf{p}}'a_{\bf{p}}a_{\bf{p}'}e^{i{({\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}+{\bf{p}}'a_{\bf{p}}a_{-\bf{p}'}^{\dagger}e^{i{({\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}-{\bf{p}}'a_{-\bf{p}}^{\dagger}a_{\bf{p}'}e^{i{({\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}-{\bf{p}}'a_{-\bf{p}}^{\dagger}a_{-\bf{p}'}^{\dagger}e^{i{({\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}\big)\\ \end{eqnarray} }

「また、 -{\bf{p}}\rightarrow{\bf{p}}''などの積分変数の置換によって、各項の {\bf{p}}または {\bf{p}'}の符号を適宜変換すると、次のようになります」

{ \displaystyle \begin{eqnarray} {\bf{P}}&=&-\int d^3x\pi({\bf{x}})\nabla\phi({\bf{x}})\\ &=&-\int d^3 x\int\frac{d^3p d^3p'}{(2\pi)^6}\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\omega_{\bf{p}}}{\omega_{\bf{p}'}}}\\ &\cdot&\big(-{\bf{p}}'a_{\bf{p}}a_{-\bf{p}'}e^{i{({\bf{p}}-{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}-{\bf{p}}'a_{\bf{p}}a_{\bf{p}'}^{\dagger}e^{i{({\bf{p}}-{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}-{\bf{p}}'a_{\bf{p}}^{\dagger}a_{\bf{p}'}e^{i{(-{\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}-{\bf{p}}'a_{\bf{p}}^{\dagger}a_{-\bf{p}'}^{\dagger}e^{i{(-{\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}\big)\\ &=&\int d^3 x\int\frac{d^3p d^3p'}{(2\pi)^6}\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\omega_{\bf{p}}}{\omega_{\bf{p}'}}}\\ &\cdot&\big({\bf{p}}'a_{\bf{p}}a_{-\bf{p}'}e^{i{({\bf{p}}-{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}+{\bf{p}}'a_{\bf{p}}a_{\bf{p}'}^{\dagger}e^{i{({\bf{p}}-{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}+{\bf{p}}'a_{\bf{p}}^{\dagger}a_{\bf{p}'}e^{i{(-{\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}+{\bf{p}}'a_{\bf{p}}^{\dagger}a_{-\bf{p}'}^{\dagger}e^{i{(-{\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}\big)\\ \end{eqnarray} }

「上式をxについて積分すると、デルタ関数が現れます」

{ \displaystyle \begin{eqnarray} {\bf{P}}&=&\int d^3 x\int\frac{d^3p d^3p'}{(2\pi)^6}\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\omega_{\bf{p}}}{\omega_{\bf{p}'}}}\\ &\cdot&\big({\bf{p}}'a_{\bf{p}}a_{-\bf{p}'}e^{i{({\bf{p}}-{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}+{\bf{p}}'a_{\bf{p}}a_{\bf{p}'}^{\dagger}e^{i{({\bf{p}}-{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}+{\bf{p}}'a_{\bf{p}}^{\dagger}a_{\bf{p}'}e^{i{(-{\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}+{\bf{p}}'a_{\bf{p}}^{\dagger}a_{-\bf{p}'}^{\dagger}e^{i{(-{\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}\big)\\ &=&\int\frac{d^3p d^3p'}{(2\pi)^3}\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\omega_{\bf{p}}}{\omega_{\bf{p}'}}}\cdot\big({\bf{p}}'a_{\bf{p}}a_{-\bf{p}'}\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{p}'})+{\bf{p}}'a_{\bf{p}}a_{\bf{p}'}^{\dagger}\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{p}'})\\ &+&{\bf{p}}'a_{\bf{p}}^{\dagger}a_{\bf{p}'}\delta^{(3)}(-{\bf{p}}+{\bf{p}'})+{\bf{p}}'a_{\bf{p}}^{\dagger}a_{-\bf{p}'}^{\dagger}\delta^{(3)}(-{\bf{p}}+{\bf{p}'})\big)\\ \end{eqnarray} }

「次に、p'について積分すると、全運動量演算子 {\bf{P}}は、次のように簡単になります」

{ \displaystyle \begin{eqnarray} {\bf{P}}&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2}\big({\bf{p}}a_{\bf{p}}a_{-\bf{p}}+{\bf{p}}a_{\bf{p}}a_{\bf{p}}^{\dagger}+{\bf{p}}a_{\bf{p}}^{\dagger}a_{\bf{p}}+{\bf{p}}a_{\bf{p}}^{\dagger}a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big) \end{eqnarray} }