ヒルベルト空間とユニタリ演算子

「ところで、ローレンツ変換は、量子状態のヒルベルト空間において、ユニタリ演算子として実行されます」

「ヒルベルト空間？」
　一宮が首を傾げた。
「私たちの住む現実世界の空間は、３次元ユークリッド空間（Euclidean space）であると考えられています。このユークリッド空間を複素数に拡張したのがユニタリ空間（unitary space）と呼ばれます。また、ユークリッド空間またはユニタリ空間を無限次元に拡張したのが、ヒルベルト空間（Hilbert space）と呼ばれます」

ユークリッド空間（Euclidean space）（ｎ次元の実数空間）
（現実世界の空間は、３次元ユークリッド空間）
　↓ 複素数に拡張
ユニタリ空間（unitary space）（ｎ次元の複素数空間）

ユークリッド空間・ユニタリ空間
　↓ 無限次元に拡張
ヒルベルト空間（Hilbert space）（無限次元の実数・複素数空間）

「以上の関係を図に表すと、次のようになります」

「量子状態は、複素数で記述され、また、取りうる量子状態は、無限の状態を取り得るため、量子力学の数学的構成には、ヒルベルト空間が採用されています」
「要するに、ヒルベルト空間って、考えうるなかで一番広い空間というわけね」
「逆に考えると、私たちの住む３次元ユークリッド空間は、かなり特別な空間であると考えることもできます。これはちょうど、広大な宇宙の中で、地球が特別な環境を有するように、私達の住む３次元空間も特別な環境であるといえるのです」

「それじゃ、ユニタリ演算子って何よ？」
「ユニタリ演算子（unitary operator）は、ヒルベルト空間における変換において、距離を同一に保ち（等距離性）、かつ、変換後の要素には、必ず変換の元となる要素が存在する（全射性）という２つの性質を満たす演算子のことです」

ユニタリ演算子（unitary operator）：
ヒルベルト空間における変換で、以下の性質を満たす演算子
（１）距離を同一に保つ（等距離性）
（２）変換後の要素には、必ず変換の元となる要素が存在する（全射性）

「それゆえ、何かを回転させたり、平行移動させたりするような演算子は、ユニタリ演算子であるといえます。ローレンツ変換は、４次元世界における『回転』に相当するため、ローレンツ変換の記述にユニタリ演算子が用いられるのです」