ローレンツ不変３元運動量積分公式の導出 - スーパーサイエンスガール

「以上述べたローレンツ不変規格化においては、他の場所において $2E_p$ で割る必要があります。例えば、１粒子状態の完備関係式は、次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} (1)_{\textrm{1-particle}}=\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}|{\bf{p}}\rangle\frac{1}{2E_{\bf{p}}}\langle {\bf{p}}|. \end{eqnarray} }$
(2.39)

「(2.39)式において、左辺の演算子は、１粒子状態の部分空間内の恒等演算子であり、ヒルベルト空間の残りの部分空間においてゼロとなります。この式の積分は頻繁に行われます。そこで、次のような積分を考えてみます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\bf{p}}}=\int\frac{d^4p}{(2\pi)^4}(2\pi)\delta(p^2-m^2)\big|_{p^0>0} \end{eqnarray} }$
(2.40)

「どうしてそんな式が成り立つのよ？」
「右辺のδ関数 $\delta(p^2-m^2)$ を計算してみます。 $p^2={p^0}^2-{\bf{p}}^2$ のように、運動量 $p^2$ を時間成分 ${p^0}^2$ と空間成分 ${\bf{p}}^2$ に分けて考えます。ここで、Einsteinの関係式 $E_{\bf{p}}=\sqrt{|p|^2+m^2}$ を用いると、δ関数 $\delta(p^2-m^2)$ は、次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \delta(p^2-m^2)&=&\delta({p^0}^2-{\bf{p}}^2-m^2)\\ &=&\delta({p^0}^2-E_{\bf{p}}^2) \end{eqnarray} }$

「次に、以下のようなδ関数の公式を用います」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \delta(x^2-a^2)&=&\frac{1}{2|a|}\{\delta(x-|a|)+\delta(x+|a|)\} \end{eqnarray} }$

「上の公式を用いると、δ関数 $\delta(p^2-m^2)$ は、次のようになります]

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \delta(p^2-m^2)&=&\delta({p^0}^2-{\bf{p}}^2-m^2)\\ &=&\delta({p^0}^2-E_{\bf{p}}^2)\\ &=&\frac{1}{2E}\{\delta(p^0-E_{\bf{p}})+\delta(p^0+E_{\bf{p}})\} \end{eqnarray} }$

「次に、 $E_{\bf{p}}>0, p^0>0$ として、このδ関数の $p^0$ についての積分を実行してみます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \int_0^\infty dp^0\delta(p^2-m^2)&=& \int_0^\infty dp^0\frac{1}{2E_{\bf{p}}}\{\delta(p^0-E_{\bf{p}})+\delta(p^0+E_{\bf{p}})\}\\ &=&\int_0^\infty dp^0\frac{1}{2E_{\bf{p}}}\delta(p^0-E_{\bf{p}}) \big|_{p^0>0}\\ &=&\frac{1}{2E_{\bf{p}}}\big|_{p^0>0}\\ \end{eqnarray} }$

「これから次の関係式が成り立つことがわかります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \frac{1}{2E_{\bf{p}}}&=&\int_0^\infty dp^0\delta(p^2-m^2)\big|_{p^0>0}\\ \end{eqnarray} }$

「この関係式を(2.39)式の両辺に代入することにより、(2.40)式を導くことができます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\bf{p}}}=\int\frac{d^4p}{(2\pi)^4}(2\pi)\delta(p^2-m^2)\big|_{p^0>0} \end{eqnarray} }$
(2.40)