クライン‐ゴルドン方程式の導出 - スーパーサイエンスガール

「以上の結果をまとめると、次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} i\frac{\partial}{\partial t}\phi({\bf{x}},t) &=&\bigg[\phi({\bf{x}},t), \int d^3 x’\bigg\{\frac{1}{2}\pi^2({\bf{x}’},t)+\frac{1}{2}(\nabla\phi({\bf{x}’},t))^2+\frac{1}{2}m^2\phi^2({\bf{x}’},t)\bigg\}\bigg]\\ &=&\int d^3 x’\bigg(i\delta^{(3)}({\bf{x}}-{\bf{x}’} \pi({\bf{x}’},t) \bigg)\\ &=&i\pi({\bf{x}},t)\\ i\frac{\partial}{\partial t}\pi({\bf{x}},t) &=&\bigg[\pi({\bf{x}},t), \int d^3 x’\bigg\{\frac{1}{2}\pi^2({\bf{x}’},t)+\frac{1}{2}(\nabla\phi({\bf{x}’},t))^2+\frac{1}{2}m^2\phi^2({\bf{x}’},t)\bigg\}\bigg]\\ &=&\int d^3x’\bigg(-i\delta^{(3)}({\bf{x}}-{\bf{x}’}) (-\nabla^2+m^2)\phi({\bf{x}’},t) \\ &=&-i (-\nabla^2+m^2)\phi({\bf{x}’},t) \end{eqnarray} }$

「次に、 $\phi$ の式の２階微分を行うことによって、これらの２つの式を組み合わせてみましょう」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} i\frac{\partial^2}{\partial t^2}\phi({\bf{x}},t) &=&i\frac{\partial}{\partial t}\pi({\bf{x}},t)\\ &=&-i (-\nabla^2+m^2)\phi({\bf{x}’},t) \end{eqnarray} }$