クライン‐ゴルドン場とその運動量密度の時間に依存した表式

「次に、ハイゼンベルク演算子 $\phi(x)$ の望ましい式を導いてみましょう。ここで、時間に独立なSchrodinger描像の昇降演算子を表すため、記号 $a_p, a_p^\dagger$ を常に用いることにします。具体的な計算方法としては、(2.25)式の左右からそれぞれ $e^{iHt}, e^{-iHt}$ をかけて、(2.43)式の関係を用います」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \phi({\bf{x}})&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\bf{p}}}}\big(a_{\bf{p}}e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}+a_{\bf{p}}^{\dagger}e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}\big); \end{eqnarray} }$
(2.25)

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \phi(x)&=&\phi({\bf{x}},t)=e^{iHt}\phi({\bf{x}})e^{-iHt}. \end{eqnarray} }$
(2.43)

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \phi({\bf{x}}, t)&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\bf{p}}}}\big(e^{iHt}a_{\bf{p}}e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}} e^{-iHt}+ e^{iHt}a_{\bf{p}}^{\dagger}e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}} e^{-iHt}\big)\\ &=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\bf{p}}}}\big(e^{iHt}a_{\bf{p}} e^{-iHt} e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}+ e^{iHt}a_{\bf{p}}^{\dagger} e^{-iHt} e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}\big)\\ &=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\bf{p}}}}\big(e^{-iE_{\bf{p}}t}e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}+ e^{iE_{\bf{p}}t} e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}\big)\\ &=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\bf{p}}}}\big(e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}+ e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}\big) \mid_{p^0=E_{\bf{p}}}. \end{eqnarray} }$

「なお、２行目から３行目への変形において、前回導いた(2.46)式の関係式を用いました」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} e^{iHt}a_{\bf{p}} e^{-iHt}&=& a_{\bf{p}}e^{-iE_{\bf{p}}t}, \,\,\,\,\,\,\, e^{iHt}a_{\bf{p}}^\dagger e^{-iHt}= a_{\bf{p}}^\dagger e^{iE_{\bf{p}}t}. \end{eqnarray} }$
(2.46)

「また、最後の行において、 ${\bf{p}}=p^0-p^1-p^2-p^3$ と、４元運動量で表しました。その結果、以下の(2.47)式が成り立つことが分かります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \phi({\bf{x}}, t)&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\bf{p}}}}\big(a_{\bf{p}}e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}+a_{\bf{p}}^{\dagger}e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}\big) \mid_{p^0=E_{\bf{p}}}:\\ \pi({\bf{x}},t)&=&\frac{\partial}{\partial t}\phi({\bf{x}},t). \end{eqnarray} }$
(2.47)